次の2つの2次式を $a(x-p)^2 + q$ の形に変形（平方完成）せよ。 (1) $x^2 + 4x$ (2) $2x^2 - 6x + 5$

1. 問題の内容

次の2つの2次式を $a(x-p)^2 + q$ の形に変形（平方完成）せよ。

(1) $x^2 + 4x$

(2) $2x^2 - 6x + 5$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 4x$

まず、$x$ の係数の半分の2乗を足して引きます。

$x$ の係数は4なので、その半分は2、その2乗は4です。

よって、

$x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4$

したがって、$a=1, p=-2, q=-4$ となります。

(2) $2x^2 - 6x + 5$

まず、$x^2$ の係数で括ります。

$2x^2 - 6x + 5 = 2(x^2 - 3x) + 5$

次に、括弧の中の $x$ の係数の半分の2乗を足して引きます。

括弧の中の$x$ の係数は-3なので、その半分は-$\frac{3}{2}$、その2乗は$\frac{9}{4}$です。

よって、

$2(x^2 - 3x) + 5 = 2(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 5 = 2((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + 5$

$= 2(x - \frac{3}{2})^2 - 2 \cdot \frac{9}{4} + 5 = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + \frac{10}{2} = 2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2}$

したがって、$a=2, p=\frac{3}{2}, q=\frac{1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x + 2)^2 - 4$

(2) $2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2}$