2次方程式 $x^2 + ax + a^2 + ab + 2 = 0$ が、どのような $a$ の値に対しても実数解をもたないような、定数 $b$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + ax + a^2 + ab + 2 = 0$ が、どのような $a$ の値に対しても実数解をもたないような、定数 $b$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式が実数解を持たない条件は、判別式 $D$ が負であることです。与えられた2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = a^2 - 4(a^2 + ab + 2) = a^2 - 4a^2 - 4ab - 8 = -3a^2 - 4ab - 8$

となります。

問題文より、どのような $a$ の値に対しても実数解を持たない、つまり任意の $a$ に対して $D < 0$ が成り立つ必要があります。

$D = -3a^2 - 4ab - 8 < 0$

両辺に $-1$ を掛けて不等号の向きを変えると、

$3a^2 + 4ba + 8 > 0$

となります。

この不等式が任意の $a$ に対して成り立つためには、2次関数 $f(a) = 3a^2 + 4ba + 8$ のグラフが常に $a$ 軸より上にある必要があります。つまり、$f(a) = 0$ という2次方程式が実数解を持たない条件を考えれば良いことになります。そのためには、この2次方程式の判別式が負であればよいです。

$f(a)$ の判別式を $D_a$ とすると、

$D_a = (4b)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 16b^2 - 96$

これが負であれば良いので、

$16b^2 - 96 < 0$

$16b^2 < 96$

$b^2 < 6$

したがって、

$-\sqrt{6} < b < \sqrt{6}$

となります。

3. 最終的な答え

$-\sqrt{6} < b < \sqrt{6}$