与えられた4x4行列の行列式を、基本変形を用いて計算する問題です。サラスの方法は禁止されており、少なくとも一度は列基本変形を用いる必要があります。また、どのような基本変形を行ったかを記述する必要があります。 与えられた行列は次の通りです。 $ \begin{pmatrix} 3 & 0 & -3 & 6 \\ 5 & 1 & 5 & 4 \\ 2 & 6 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、基本変形を用いて計算する問題です。サラスの方法は禁止されており、少なくとも一度は列基本変形を用いる必要があります。また、どのような基本変形を行ったかを記述する必要があります。

与えられた行列は次の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

3 & 0 & -3 & 6 \\

5 & 1 & 5 & 4 \\

2 & 6 & 1 & 0 \\

3 & 2 & 3 & 1

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列の行列式を計算するために、行列を簡略化します。基本変形を行う際には、どの行または列にどのような操作を行ったかを明記します。

ステップ1: 1列目を基準にして、他の行の1列目を0にする。

具体的には、以下の操作を行います。

* 2行目から1行目の5/3倍を引く (R2 -> R2 - (5/3)R1)

* 3行目から1行目の2/3倍を引く (R3 -> R3 - (2/3)R1)

* 4行目から1行目を引く (R4 -> R4 - R1)

これにより、行列は以下のようになります。

$$

\begin{pmatrix}

3 & 0 & -3 & 6 \\

0 & 1 & 10 & -6 \\

0 & 6 & 3 & -4 \\

0 & 2 & 6 & -5

\end{pmatrix}

$$

ステップ2: 1列目で展開する。

行列式は、

$$

3 \times \begin{vmatrix}

1 & 10 & -6 \\

6 & 3 & -4 \\

2 & 6 & -5

\end{vmatrix}

$$

となります。

ステップ3: 新しい3x3行列について、基本変形を行う。

2列目を基準にして、他の列の2列目を0にする。

* 2行目から1行目の6倍を引く (R2 -> R2 - 6R1)

* 3行目から1行目の2倍を引く (R3 -> R3 - 2R1)

これにより、行列は以下のようになります。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 10 & -6 \\

0 & -57 & 32 \\

0 & -14 & 7

\end{pmatrix}

$$

ステップ4: 1列目で展開する。

行列式は、

$$

1 \times \begin{vmatrix}

-57 & 32 \\

-14 & 7

\end{vmatrix}

$$

となります。

ステップ5: 2x2行列の行列式を計算する。

行列式は、

$$

(-57) \times 7 - (32) \times (-14) = -399 + 448 = 49

$$

となります。

ステップ6: 3x3行列の行列式は49。したがって元の4x4行列の行列式は $3 \times 49 = 147$。

3. 最終的な答え

147