問題は、与えられた条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数を求めることです。 (1) 頂点が点(1, -5)で、点(2, -3)を通る場合と、(2) 3点(2, -2), (3, 5), (-1, 1)を通る場合の2つの問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数を求めることです。

(1) 頂点が点(1, -5)で、点(2, -3)を通る場合と、(2) 3点(2, -2), (3, 5), (-1, 1)を通る場合の2つの問題を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が(1, -5)なので、求める2次関数は $y = a(x-1)^2 - 5$ と表せます。

このグラフが点(2, -3)を通るので、この座標を代入すると、

$-3 = a(2-1)^2 - 5$

$-3 = a - 5$

$a = 2$

よって、求める2次関数は、$y = 2(x-1)^2 - 5$ です。これを展開すると、$y = 2(x^2 - 2x + 1) - 5 = 2x^2 - 4x + 2 - 5 = 2x^2 - 4x - 3$ となります。

(2) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおきます。

3点(2, -2), (3, 5), (-1, 1)を通るので、これらの座標を代入すると、次の3つの式が得られます。

$4a + 2b + c = -2$ ...(1)

$9a + 3b + c = 5$ ...(2)

$a - b + c = 1$ ...(3)

(2)-(1)より、$5a + b = 7$ ...(4)

(3)-(1)より、$-3a - 3b = 3$

$a + b = -1$ ...(5)

(4)-(5)より、$4a = 8$, $a = 2$

(5)に代入して、$2 + b = -1$, $b = -3$

(3)に代入して、$2 - (-3) + c = 1$, $5 + c = 1$, $c = -4$

よって、求める2次関数は、$y = 2x^2 - 3x - 4$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 4x - 3$

(2) $y = 2x^2 - 3x - 4$