$A$ を $m \times n$ 行列、$B$ を $n \times m$ 行列とします。もし $m > n$ なら、$AB$ は正則でないことを示してください。

1. 問題の内容

$A$ を $m \times n$ 行列、$B$ を $n \times m$ 行列とします。もし $m > n$ なら、$AB$ は正則でないことを示してください。

2. 解き方の手順

$A$ は $m \times n$ 行列、$B$ は $n \times m$ 行列なので、$AB$ は $m \times m$ 行列となります。

$m > n$ のとき、$rank(A) \leq n$ であり、$rank(B) \leq n$ です。

ここで、$rank(AB) \leq min(rank(A), rank(B))$ が成り立ちます。

したがって、$rank(AB) \leq n$ です。

$AB$ は $m \times m$ 行列であり、$rank(AB) \leq n$ です。$m > n$ なので、$rank(AB) < m$ となります。

行列が正則であるための必要十分条件は、その行列のランクがサイズと等しいことです。

つまり、$AB$ が正則であるためには、$rank(AB) = m$ でなければなりません。

しかし、$rank(AB) < m$ なので、$AB$ は正則ではありません。

3. 最終的な答え

$m > n$ のとき、$AB$ は正則ではない。