与えられたベクトル空間 $W$ の次元と基底を求める問題です。各部分問題 (a) から (f) で、$W$ の定義が異なります。

## 解答

1. 問題の内容

与えられたベクトル空間 $W$ の次元と基底を求める問題です。各部分問題 (a) から (f) で、$W$ の定義が異なります。

2. 解き方の手順

各部分問題ごとに解き方を説明します。

**(a)**

$W = \{ x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0 \}$ where

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

手順1: 行列 $A$ を簡約化します。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -3 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 5/2 & -5/2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

手順2: 解空間の基底を求めます。

簡約化された行列より、$x_1 = -x_3 - 2x_5$, $x_2 = 0$, $x_4 = x_5$ が得られます。$x_3$ と $x_5$ は自由変数です。

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x_3 - 2x_5 \\ 0 \\ x_3 \\ x_5 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

したがって、基底は $\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \}$ であり、次元は 2 です。

**(b)**

$W = \{ x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0 \}$ where

$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$

手順1: 行列 $A$ を簡約化します。

$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \\ 0 & -5 & -5 & -10 & 25 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & 4 & 7 & -1 & -14 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \\ 0 & 4 & 7 & -1 & -14 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & 3 & -9 & 6 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

手順2: 解空間の基底を求めます。

簡約化された行列より、$x_1 = -3x_5$, $x_2 = -5x_4 + 7x_5$, $x_3 = 3x_4 - 2x_5$ が得られます。$x_4$ と $x_5$ は自由変数です。

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3x_5 \\ -5x_4 + 7x_5 \\ 3x_4 - 2x_5 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_4 \begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

したがって、基底は $\{ \begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \}$ であり、次元は 2 です。

**(c)**

$W = \{ x \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 2x_2 - x_3 = 0, 3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0 \}$

手順1: 連立方程式を解きます。

$x_1 + 2x_2 - x_3 = 0$

$3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0$

$3x_1 + 6x_2 - 3x_3 = 0$

$3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0$

を引くと

$9x_2 - 5x_3 = 0$

$x_2 = \frac{5}{9} x_3$

$x_1 + 2(\frac{5}{9} x_3) - x_3 = 0$

$x_1 + \frac{10}{9} x_3 - x_3 = 0$

$x_1 - \frac{1}{9} x_3 = 0$

$x_1 = \frac{1}{9} x_3$

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{9} x_3 \\ \frac{5}{9} x_3 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} \frac{1}{9} \\ \frac{5}{9} \\ 1 \end{bmatrix}$

したがって、基底は $\{ \begin{bmatrix} 1/9 \\ 5/9 \\ 1 \end{bmatrix} \}$ （あるいは $\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 9 \end{bmatrix} \}$）であり、次元は 1 です。

**(d)**

$W = \{ x \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0 \}$

手順1: 連立方程式を解きます。

$x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0$

$3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0$

$3x_1 + 3x_2 - 3x_3 + 3x_4 = 0$

$3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0$

を引くと

$2x_2 - 5x_3 + 4x_4 = 0$

$x_2 = \frac{5}{2} x_3 - 2x_4$

$x_1 + (\frac{5}{2} x_3 - 2x_4) - x_3 + x_4 = 0$

$x_1 + \frac{3}{2} x_3 - x_4 = 0$

$x_1 = - \frac{3}{2} x_3 + x_4$

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - \frac{3}{2} x_3 + x_4 \\ \frac{5}{2} x_3 - 2x_4 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -3/2 \\ 5/2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

したがって、基底は $\{ \begin{bmatrix} -3/2 \\ 5/2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \}$ （あるいは $\{ \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \}$）であり、次元は 2 です。

**(e)**

$W = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f'(1) = 0 \}$

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ とする。$f(1) = a + b + c + d = 0$、$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$, $f'(1) = 3a + 2b + c = 0$。

$f(1) = a + b + c + d = 0$ より $d = -a - b - c$

$f'(1) = 3a + 2b + c = 0$ より $c = -3a - 2b$

したがって $d = -a - b - (-3a - 2b) = 2a + b$

$f(x) = ax^3 + bx^2 + (-3a - 2b)x + (2a + b) = a(x^3 - 3x + 2) + b(x^2 - 2x + 1) = a(x-1)^2(x+2) + b(x-1)^2$.

したがって、基底は $\{ (x-1)^2(x+2), (x-1)^2 \}$ (すなわち $\{x^3 - 3x + 2, x^2 - 2x + 1 \}$)であり、次元は 2 です。

**(f)**

$W = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f(-1) = 0 \}$

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ とする。$f(1) = a + b + c + d = 0$、$f(-1) = -a + b - c + d = 0$。

$f(1) + f(-1) = 2b + 2d = 0$ より $b = -d$

$f(1) - f(-1) = 2a + 2c = 0$ より $a = -c$

$f(x) = ax^3 - dx^2 - ax + d = a(x^3 - x) + d(-x^2 + 1) = a x(x-1)(x+1) + d(1-x)(1+x)$.

したがって、基底は $\{ x(x-1)(x+1), (1-x)(1+x) \}$ (すなわち $\{x^3 - x, -x^2 + 1 \}$)であり、次元は 2 です。

3. 最終的な答え

(a) 次元: 2, 基底: $\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \}$

(b) 次元: 2, 基底: $\{ \begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \}$

(c) 次元: 1, 基底: $\{ \begin{bmatrix} 1/9 \\ 5/9 \\ 1 \end{bmatrix} \}$

(d) 次元: 2, 基底: $\{ \begin{bmatrix} -3/2 \\ 5/2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \}$

(e) 次元: 2, 基底: $\{ x^3 - 3x + 2, x^2 - 2x + 1 \}$

(f) 次元: 2, 基底: $\{ x^3 - x, -x^2 + 1 \}$