## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられたベクトル空間 $W$ について、その次元と基底を求める問題です。具体的には、(a)から(f)までの6つの部分問題があります。

(a) $W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0 \}$ で、$A$ は与えられた行列。

(b) $W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0 \}$ で、$A$ は与えられた行列。

(c) $W = \{x \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 2x_2 - x_3 = 0, 3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0 \}$

(d) $W = \{x \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0 \}$

(e) $W = \{f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f'(1) = 0 \}$

(f) $W = \{f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f(-1) = 0 \}$

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2. 解き方の手順

(a) と (b) は、行列 $A$ の零空間を求める問題です。行列を簡約化し、自由変数の数を数えることで次元がわかります。基底は、自由変数を1つずつ1に、残りを0にして得られる解を並べたものです。

(c) と (d) は、連立一次方程式の解空間を求める問題です。連立一次方程式を解き、自由変数の数を数えることで次元がわかります。基底は、自由変数を1つずつ1に、残りを0にして得られる解を並べたものです。

(e) と (f) は、多項式空間の部分空間を求める問題です。条件を満たす多項式の一般形を求め、それを基に基底を構成します。

以下、(a), (c), (e) について詳細に解答します。

**(a)**

与えられた行列は、

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

この行列を簡約化します。

まず2行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

次に3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix}$

2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

2行目に-1をかけます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

3行目に2行目の2倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -5 \end{bmatrix}$

3行目を5で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

1行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

1行目に3行目の2倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

2行目から3行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

ランクは3なので、自由変数は2つです。次元は2です。

基底を求めるには、$x_3 = s$ と $x_5 = t$ と置きます。すると、$x_1 = -s - 2t$, $x_2 = 0$, $x_4 = t$ となります。

従って、

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

**(c)**

$x_1 + 2x_2 - x_3 = 0$

$3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0$

この連立一次方程式を解きます。1つ目の式を3倍して2つ目の式から引きます。

$-9x_2 + 5x_3 = 0$, つまり $9x_2 = 5x_3$.

$x_2 = \frac{5}{9}x_3$.

$x_1 = x_3 - 2x_2 = x_3 - \frac{10}{9}x_3 = -\frac{1}{9}x_3$.

したがって、

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -\frac{1}{9} \\ \frac{5}{9} \\ 1 \end{bmatrix}$

次元は1です。

基底は $\begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ 9 \end{bmatrix}$ など。

**(e)**

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$f(1) = a + b + c + d = 0$

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

$f'(1) = 3a + 2b + c = 0$

$a + b + c + d = 0$ から $d = -a - b - c$

$3a + 2b + c = 0$ から $c = -3a - 2b$

$d = -a - b - (-3a - 2b) = 2a + b$

$f(x) = ax^3 + bx^2 + (-3a - 2b)x + (2a + b) = a(x^3 - 3x + 2) + b(x^2 - 2x + 1) = a(x-1)^2(x+2) + b(x-1)^2$

次元は2です。

基底は $(x-1)^2(x+2)$, $(x-1)^2$

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3. 最終的な答え

(a) 次元: 2, 基底: $\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

(c) 次元: 1, 基底: $\begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ 9 \end{bmatrix}$

(e) 次元: 2, 基底: $(x-1)^2(x+2)$, $(x-1)^2$