## 問題 1

## 問題 1

与えられたベクトル空間 $W$ の次元と基底を求める問題です。$W$ は以下の条件を満たすベクトル $x$ の集合として定義されます。

(a) $W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0\}$ ここで $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

(b) $W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0\}$ ここで $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$

(c) $W = \{x \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 2x_2 - x_3 = 0, 3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0\}$

(d) $W = \{x \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0\}$

(e) $W = \{f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f'(1) = 0\}$

(f) $W = \{f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f(-1) = 0\}$

## 解き方の手順

### (a)

1. 行列 $A$ を簡約化します。

2. 簡約化された行列の階数を求めます。

3. 次元は $\dim(W) = 5 - \text{rank}(A)$ で求められます。

4. 基底は $Ax=0$ の解の基本解を求めます。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$ を簡約化すると、

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & -5/2 & 5/2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

階数は 3 なので、$\dim(W) = 5 - 3 = 2$ 。

$x_1 + x_3 + 2x_5 = 0, x_2 = 0, x_4 - x_5 = 0$.

よって、$x_1 = -x_3 - 2x_5, x_2 = 0, x_4 = x_5$.

$x = \begin{bmatrix} -x_3-2x_5 \\ 0 \\ x_3 \\ x_5 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$.

基底は $\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$.

### (b)

同様に行列 $A$ を簡約化します。

$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$ を簡約化すると、

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \\ 0 & -5 & -5 & -10 & 25 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & 4 & 7 & -1 & -14 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -3 & 5 \\ 0 & 0 & 3 & -9 & 34 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 34/3 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -19/3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & -49/3 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 34/3 \end{bmatrix}$

階数は 3 なので、$\dim(W) = 5 - 3 = 2$ 。

$x_1 = (19/3)x_5, x_2 = -5x_4 + (49/3)x_5, x_3 = 3x_4 - (34/3)x_5$.

$x = \begin{bmatrix} (19/3)x_5 \\ -5x_4+(49/3)x_5 \\ 3x_4-(34/3)x_5 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_4 \begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} 19/3 \\ 49/3 \\ -34/3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$.

基底は $\left\{ \begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 19/3 \\ 49/3 \\ -34/3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$。

### (c)

$x_1 + 2x_2 - x_3 = 0$

$3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0$

第一式を3倍して第二式から引くと、

$-9x_2 + 5x_3 = 0 \implies x_3 = \frac{9}{5}x_2$.

$x_1 + 2x_2 - \frac{9}{5}x_2 = 0 \implies x_1 = -\frac{1}{5}x_2$.

$x = \begin{bmatrix} -\frac{1}{5}x_2 \\ x_2 \\ \frac{9}{5}x_2 \end{bmatrix} = x_2 \begin{bmatrix} -1/5 \\ 1 \\ 9/5 \end{bmatrix}$

$\dim(W) = 1$

基底は $\left\{ \begin{bmatrix} -1/5 \\ 1 \\ 9/5 \end{bmatrix} \right\}$

### (d)

$x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0$

$3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0$

第二式から第一式の3倍を引くと、

$-2x_2 + 5x_3 - 4x_4 = 0 \implies x_2 = \frac{5}{2}x_3 - 2x_4$.

$x_1 = -(\frac{5}{2}x_3 - 2x_4) + x_3 - x_4 = -\frac{3}{2}x_3 + x_4$.

$x = \begin{bmatrix} -\frac{3}{2}x_3 + x_4 \\ \frac{5}{2}x_3 - 2x_4 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -3/2 \\ 5/2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\dim(W) = 2$

基底は $\left\{ \begin{bmatrix} -3/2 \\ 5/2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$

### (e)

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$f(1) = a + b + c + d = 0$

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

$f'(1) = 3a + 2b + c = 0$

$c = -3a - 2b$

$a + b - 3a - 2b + d = 0 \implies d = 2a + b$

$f(x) = ax^3 + bx^2 + (-3a - 2b)x + (2a + b) = a(x^3 - 3x + 2) + b(x^2 - 2x + 1)$.

$\dim(W) = 2$

基底は $\{ x^3 - 3x + 2, x^2 - 2x + 1 \}$.

### (f)

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$f(1) = a + b + c + d = 0$

$f(-1) = -a + b - c + d = 0$

足すと $2b + 2d = 0 \implies d = -b$.

引くと $2a + 2c = 0 \implies c = -a$.

$f(x) = ax^3 + bx^2 - ax - b = a(x^3 - x) + b(x^2 - 1)$.

$\dim(W) = 2$

基底は $\{ x^3 - x, x^2 - 1 \}$.

## 問題 2

問題2については、画像に問題が途中で切れており、解くことができません。問題を最後まで示してください。

## 最終的な答え

(a) 次元: 2, 基底: $\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$

(b) 次元: 2, 基底: $\left\{ \begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 19/3 \\ 49/3 \\ -34/3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$

(c) 次元: 1, 基底: $\left\{ \begin{bmatrix} -1/5 \\ 1 \\ 9/5 \end{bmatrix} \right\}$

(d) 次元: 2, 基底: $\left\{ \begin{bmatrix} -3/2 \\ 5/2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$

(e) 次元: 2, 基底: $\{ x^3 - 3x + 2, x^2 - 2x + 1 \}$

(f) 次元: 2, 基底: $\{ x^3 - x, x^2 - 1 \}$