## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた問題は、線形代数の様々な概念に関するものです。具体的には、以下の内容が含まれています。

1. ベクトル空間 $W$ の次元と基底を求める問題。

2. 与えられたベクトルがベクトル空間 $V$ の基底であることを示す問題。

3. ベクトル空間 $V$ の基底が与えられたとき、別のベクトルの組が $V$ の基底となるかどうかを調べる問題。

4. 与えられた写像が線形写像かどうかを調べる問題。

5. 与えられた行列に対する null 空間 (核) と像の次元と基底を求める問題。

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2. 解き方の手順

ここでは、問題5について解説します。

5. $T(x) = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} : \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^4$ について、以下を求めよ。

(a) $null(T)$ と $Ker(T)$ の1組の基

(b) $rank(T)$ と $Im(T)$ の1組の基

(a) $Ker(T)$ を求めるには、$T(x) = 0$ となる $x \in \mathbb{R}^5$ を見つける必要があります。つまり、連立一次方程式

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

を解きます。

まず、与えられた行列を簡約化します。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - R_1} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

$\xrightarrow{R_4 \leftarrow R_4 - R_1} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_4} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$\xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

この簡約化された行列から、

$x_1 + 3x_3 + 2x_4 = 0$

$x_2 + x_3 + x_4 = 0$

$x_5 = 0$

となるため、$x_3 = s, x_4 = t$ とおくと、

$x_1 = -3s - 2t$

$x_2 = -s - t$

$x_5 = 0$

となります。したがって、$Ker(T)$ は

$\begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

によって張られます。

(b) $rank(T)$ は行列の線形独立な列の数です。簡約化された行列から、$rank(T) = 3$ です。 $Im(T)$ は、行列 $T$ の列ベクトルによって張られる空間です。簡約化前の行列の1,2,4列目は線形独立であるから、$Im(T)$ の基底は

$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

で与えられます。

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3. 最終的な答え

5. (a) $null(T) = 2$, $Ker(T) = span\{ \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \}$

(b) $rank(T) = 3$, $Im(T) = span\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \}$