与えられたベクトル空間 $W$ の次元と基底を求める問題です。具体的には、(a)から(f)までの各ケースについて、ベクトル空間 $W$ がどのような条件を満たすベクトルの集合として定義されているかを与えられているので、それぞれの $W$ の次元と基底を求めます。

1. 問題の内容

与えられたベクトル空間 $W$ の次元と基底を求める問題です。具体的には、(a)から(f)までの各ケースについて、ベクトル空間 $W$ がどのような条件を満たすベクトルの集合として定義されているかを与えられているので、それぞれの $W$ の次元と基底を求めます。

2. 解き方の手順

各ケースについて、以下のように解いていきます。

(a) $W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^5 \mid A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}$, where $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$.

まず、行列 $A$ を簡約化します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -5/2 & 5/2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$.

$x_1 = -x_3 - 2x_5$, $x_2 = 0$, $x_4 = x_5$.

したがって、解は $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -x_3 - 2x_5 \\ 0 \\ x_3 \\ x_5 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$.

よって、次元は2であり、基底は $\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$.

(b) $W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^5 \mid A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}$, where $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$.

まず、行列 $A$ を簡約化します。

$\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \\ 0 & -5 & -5 & -10 & 25 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -3 & 5 \\ 0 & 0 & -3 & 9 & -6 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$.

$x_1 = -3x_5$, $x_2 = -5x_4 + 7x_5$, $x_3 = 3x_4 - 2x_5$.

したがって、解は $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -3x_5 \\ -5x_4 + 7x_5 \\ 3x_4 - 2x_5 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_4 \begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$.

よって、次元は2であり、基底は $\left\{ \begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$.

(c) $W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 2x_2 - x_3 = 0, 3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0 \}$.

$x_1 + 2x_2 - x_3 = 0$ and $3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0$.

$x_3 = x_1 + 2x_2$.

$3x_1 - 3x_2 + 2(x_1 + 2x_2) = 5x_1 + x_2 = 0$, $x_2 = -5x_1$.

$x_3 = x_1 + 2(-5x_1) = -9x_1$.

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ -5x_1 \\ -9x_1 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -5 \\ -9 \end{bmatrix}$.

よって、次元は1であり、基底は $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -5 \\ -9 \end{bmatrix} \right\}$.

(d) $W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0 \}$.

$x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0$ and $3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0$.

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & -1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 5 & -4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3/2 & -1 \\ 0 & 1 & -5/2 & 2 \end{bmatrix}$.

$x_1 = -\frac{3}{2}x_3 + x_4$, $x_2 = \frac{5}{2}x_3 - 2x_4$.

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -\frac{3}{2}x_3 + x_4 \\ \frac{5}{2}x_3 - 2x_4 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -3/2 \\ 5/2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$.

よって、次元は2であり、基底は $\left\{ \begin{bmatrix} -3/2 \\ 5/2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$ or $\left\{ \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$.

(e) $W = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f'(1) = 0 \}$.

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.

$f(1) = a + b + c + d = 0$.

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.

$f'(1) = 3a + 2b + c = 0$.

$c = -3a - 2b$.

$a + b - 3a - 2b + d = -2a - b + d = 0$, $d = 2a + b$.

$f(x) = ax^3 + bx^2 + (-3a - 2b)x + (2a + b) = a(x^3 - 3x + 2) + b(x^2 - 2x + 1) = a(x-1)^2(x+2) + b(x-1)^2$.

よって、次元は2であり、基底は $\{ (x-1)^2(x+2), (x-1)^2 \}$.

(f) $W = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f(-1) = 0 \}$.

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.

$f(1) = a + b + c + d = 0$.

$f(-1) = -a + b - c + d = 0$.

$2b + 2d = 0$, $b = -d$.

$a + c = 0$, $c = -a$.

$f(x) = ax^3 - dx^2 - ax + d = a(x^3 - x) + d(-x^2 + 1) = a(x)(x^2 - 1) + d(1-x^2) = a(x)(x-1)(x+1) - d(x-1)(x+1) = (x-1)(x+1)[ax - d]$.

よって、次元は2であり、基底は $\{x^3-x, -x^2+1 \}$ or $\{x^3 - x, x^2 - 1 \}$ or $\{ x(x-1)(x+1) , (x-1)(x+1)\}$.

3. 最終的な答え

(a) 次元: 2, 基底: $\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$.

(b) 次元: 2, 基底: $\left\{ \begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$.

(c) 次元: 1, 基底: $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -5 \\ -9 \end{bmatrix} \right\}$.

(d) 次元: 2, 基底: $\left\{ \begin{bmatrix} -3/2 \\ 5/2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$.

(e) 次元: 2, 基底: $\{ (x-1)^2(x+2), (x-1)^2 \}$.

(f) 次元: 2, 基底: $\{x^3-x, x^2-1 \}$.