$\log 2 = a$、$\log 3 = b$として、以下の対数を$a$と$b$を用いて表す問題です。 (1) $\log 50$ (2) $\log_e e \times \ln 3$ (3) $\log_5 3$

1. 問題の内容

$\log 2 = a$、$\log 3 = b$として、以下の対数を$a$と$b$を用いて表す問題です。

(1) $\log 50$

(2) $\log_e e \times \ln 3$

(3) $\log_5 3$

2. 解き方の手順

(1) $\log 50$

$\log 50 = \log (5 \times 10) = \log 5 + \log 10 = \log(10/2) + \log 10 = \log 10 - \log 2 + \log 10 = 1 - \log 2 + 1 = 2 - \log 2 = 2 - a$

(2) $\log_e e \times \ln 3$

$\log_e e = 1$ であり、$\ln 3 = \log_e 3$です。

したがって、$\log_e e \times \ln 3 = 1 \times \ln 3 = \ln 3 = \log_e 3$です。

底の変換公式を用いて、$\log_e 3 = \frac{\log 3}{\log e}$とします。

$\log 3 = b$であり、$\log e = \log_{10} e$です。

しかし、問題文の条件では$\log_{10} e$を$a$と$b$で表すことができません。

もし問題が$\log e \times \ln 3$ではなく、$\log_{10} e \times \log_e 3$であるならば、$\log_{10} e \times \log_e 3 = \frac{\log e}{\log 10} \times \frac{\log 3}{\log e} = \frac{\log 3}{\log 10} = \log 3 = b$となります。

しかし、問題文は$\log e \times \ln 3$であるため、$\log e \times \ln 3 = \log e \times \log_e 3 = \log_{10} e \times \log_e 3 = \frac{\ln e}{\ln 10} \times \ln 3 = \frac{1}{\ln 10} \times \ln 3$となり、これは$a$と$b$で表すことができません。

問題文の指示に従い、$\log_e e \times \ln 3$を計算すると、

$\log_e e \times \ln 3 = 1 \times \ln 3 = \ln 3$です。

底を10に変換すると、$\ln 3 = \frac{\log 3}{\log e} = \frac{b}{\log e}$となり、この値も$a$と$b$で表すことができません。

問題文に誤りがあると仮定して、底を10とする対数で考えることにします。$\log_{10} e \times \log_e 3$について、$log_e 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} e}$ですから、$\log_{10} e \times \log_e 3 = \log_{10} e \times \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} e} = \log_{10} 3 = b$となります。

(3) $\log_5 3$

底の変換公式を用いて、$\log_5 3 = \frac{\log 3}{\log 5} = \frac{\log 3}{\log (10/2)} = \frac{\log 3}{\log 10 - \log 2} = \frac{\log 3}{1 - \log 2} = \frac{b}{1 - a}$

3. 最終的な答え

(1) $\log 50 = 2 - a$

(2) $\log e \times \ln 3 = b$

(3) $\log_5 3 = \frac{b}{1 - a}$