$V = \mathbb{R}[x]_2$、つまり実数係数の2次以下の多項式全体のなすベクトル空間において、与えられた3つのベクトル（多項式） $f_1(x) = 1 - x + x^2$, $f_2(x) = -1 + 2x + 2x^2$, $f_3(x) = 1 - 2x - x^2$ が $V$ の基であることを示す。

1. 問題の内容

$V = \mathbb{R}[x]_2$、つまり実数係数の2次以下の多項式全体のなすベクトル空間において、与えられた3つのベクトル（多項式）

$f_1(x) = 1 - x + x^2$,

$f_2(x) = -1 + 2x + 2x^2$,

$f_3(x) = 1 - 2x - x^2$

が $V$ の基であることを示す。

2. 解き方の手順

$V$ の基であることを示すには、これらの3つのベクトルが線形独立であり、かつ $V$ を張ることを示す必要がある。$\mathbb{R}[x]_2$ の次元は 3 であるため、3つの線形独立なベクトルがあれば $V$ を張ることも自動的に示される。

したがって、線形独立性のみをチェックすればよい。

線形独立性を示すために、

$c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) + c_3 f_3(x) = 0$

となるスカラー $c_1, c_2, c_3$ が $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ のみであることを示す。

与えられた多項式を代入すると、

$c_1(1 - x + x^2) + c_2(-1 + 2x + 2x^2) + c_3(1 - 2x - x^2) = 0$

$(c_1 - c_2 + c_3) + (-c_1 + 2c_2 - 2c_3)x + (c_1 + 2c_2 - c_3)x^2 = 0$

この等式がすべての $x$ について成り立つためには、各係数が 0 である必要がある。したがって、次の連立方程式が得られる。

$c_1 - c_2 + c_3 = 0$

$-c_1 + 2c_2 - 2c_3 = 0$

$c_1 + 2c_2 - c_3 = 0$

この連立方程式を行列で表現すると、

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この行列の行列式を計算する。

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(2(-1) - (-2)(2)) - (-1)((-1)(-1) - (-2)(1)) + 1((-1)(2) - 2(1)) = 1(-2+4) + 1(1+2) + 1(-2-2) = 2 + 3 - 4 = 1$

行列式が 1 であるため、与えられた行列は正則行列であり、連立方程式の解は $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ のみである。したがって、$f_1(x), f_2(x), f_3(x)$ は線形独立である。

3. 最終的な答え

$f_1(x) = 1 - x + x^2$, $f_2(x) = -1 + 2x + 2x^2$, $f_3(x) = 1 - 2x - x^2$ は $V = \mathbb{R}[x]_2$ の基である。