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ベクトル空間 $W$ の次元と1組の基底を求める問題です。$W$ はそれぞれ異なる条件で定義されており、(a)から(f)までの小問があります。 (a) $W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0\}$、ここで $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$ (b) $W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0\}$、ここで $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$ (c) $W = \{x \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 2x_2 - x_3 = 0, 3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0 \}$ (d) $W = \{x \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0 \}$ (e) $W = \{f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f'(1) = 0 \}$　（次数3以下の多項式で、$f(1) = 0$ かつ $f'(1) = 0$ を満たすもの） (f) $W = \{f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f(-1) = 0 \}$　（次数3以下の多項式で、$f(1) = 0$ かつ $f(-1) = 0$ を満たすもの）

代数学線形代数ベクトル空間次元基底行列連立方程式多項式
2025/6/27
## 問題の解答

1. 問題の内容

ベクトル空間 WW の次元と1組の基底を求める問題です。WW はそれぞれ異なる条件で定義されており、(a)から(f)までの小問があります。
(a) W={x∈R5∣Ax=0}W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0\}、ここで A=[111111−1102212−15]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}
(b) W={x∈R5∣Ax=0}W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0\}、ここで A=[20−1341231−5314−710]A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}
(c) W={x∈R3∣x1+2x2−x3=0,3x1−3x2+2x3=0}W = \{x \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 2x_2 - x_3 = 0, 3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0 \}
(d) W={x∈R4∣x1+x2−x3+x4=0,3x1+x2+2x3−x4=0}W = \{x \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0 \}
(e) W={f(x)∈R[x]3∣f(1)=0,f′(1)=0}W = \{f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f'(1) = 0 \}　（次数3以下の多項式で、f(1)=0f(1) = 0 かつ f′(1)=0f'(1) = 0 を満たすもの）
(f) W={f(x)∈R[x]3∣f(1)=0,f(−1)=0}W = \{f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f(-1) = 0 \}　（次数3以下の多項式で、f(1)=0f(1) = 0 かつ f(−1)=0f(-1) = 0 を満たすもの）

2. 解き方の手順

(a) 行列 AA を簡約化し、自由変数の数を求めます。自由変数の数が次元となります。基底は、自由変数に特定の値（例えば、1つを1にして残りを0にする）を代入して得られる解を並べたものとなります。
(b) (a)と同様に行列 AA を簡約化します。
(c) 連立一次方程式を解き、解空間の次元を求めます。解空間の基底は、連立一次方程式の解をパラメータ表示し、パラメータに特定の値を入れて求めます。
(d) (c)と同様に連立一次方程式を解きます。
(e) f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d とおき、f(1)=0f(1) = 0 と f′(1)=0f'(1) = 0 を満たす条件を求めます。f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x) = 3ax^2 + 2bx + c なので、
a+b+c+d=0a + b + c + d = 0
3a+2b+c=03a + 2b + c = 0
これを解き、a,b,c,da, b, c, d をパラメータ表示します。次元はパラメータの数、基底はパラメータに特定の値（例えば、1つを1にして残りを0にする）を代入して得られる多項式を並べたものとなります。
(f) f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d とおき、f(1)=0f(1) = 0 と f(−1)=0f(-1) = 0 を満たす条件を求めます。
a+b+c+d=0a + b + c + d = 0
−a+b−c+d=0-a + b - c + d = 0
これを解き、a,b,c,da, b, c, d をパラメータ表示します。次元はパラメータの数、基底はパラメータに特定の値（例えば、1つを1にして残りを0にする）を代入して得られる多項式を並べたものとなります。
それでは、実際に問題を解いていきましょう。
(a)
行列 AA を簡約化します。
A=[111111−1102212−15]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}
第2行から第1行を引き、第3行から第1行の2倍を引きます。
[111110−20−110−10−33]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix}
第2行を-1/2倍します。
[111110101/2−1/20−10−33]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix}
第1行から第2行を引き、第3行に第2行を加えます。
[1011/23/20101/2−1/2000−5/25/2]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & -5/2 & 5/2 \end{bmatrix}
第3行を-2/5倍します。
[1011/23/20101/2−1/20001−1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}
第1行から第3行の1/2倍を引き、第2行から第3行の1/2倍を引きます。
[10102010000001−1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}
ランクは3なので、次元は 5−3=25 - 3 = 2 です。
x1=−x3−2x5x_1 = -x_3 - 2x_5, x2=0x_2 = 0, x4=x5x_4 = x_5
x=[−x3−2x50x3x5x5]=x3[−10100]+x5[−20011]x = \begin{bmatrix} -x_3 - 2x_5 \\ 0 \\ x_3 \\ x_5 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}
基底は [−10100]\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, [−20011]\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}
(b)
行列 AA を簡約化します。
A=[20−1341231−5314−710]A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}
第1行と第2行を入れ替えます。
[1231−520−134314−710]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}
第2行から第1行の2倍を引き、第3行から第1行の3倍を引きます。
[1231−50−4−71140−5−5−1025]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \\ 0 & -5 & -5 & -10 & 25 \end{bmatrix}
第2行を-1/4倍します。
[1231−5017/4−1/4−7/20−5−5−1025]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 7/4 & -1/4 & -7/2 \\ 0 & -5 & -5 & -10 & 25 \end{bmatrix}
第1行から第2行の2倍を引き、第3行に第2行の5倍を加えます。
[10−1/23/22017/4−1/4−7/20025/4−45/4−5/2]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1/2 & 3/2 & 2 \\ 0 & 1 & 7/4 & -1/4 & -7/2 \\ 0 & 0 & 25/4 & -45/4 & -5/2 \end{bmatrix}
第3行を4/25倍します。
[10−1/23/22017/4−1/4−7/2001−9/5−2/5]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1/2 & 3/2 & 2 \\ 0 & 1 & 7/4 & -1/4 & -7/2 \\ 0 & 0 & 1 & -9/5 & -2/5 \end{bmatrix}
第1行に第3行の1/2倍を加え、第2行から第3行の7/4倍を引きます。
[1003/59/50108/5−16/5001−9/5−2/5]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3/5 & 9/5 \\ 0 & 1 & 0 & 8/5 & -16/5 \\ 0 & 0 & 1 & -9/5 & -2/5 \end{bmatrix}
ランクは3なので、次元は 5−3=25 - 3 = 2 です。
x1=−3/5x4−9/5x5x_1 = -3/5 x_4 - 9/5 x_5, x2=−8/5x4+16/5x5x_2 = -8/5 x_4 + 16/5 x_5, x3=9/5x4+2/5x5x_3 = 9/5 x_4 + 2/5 x_5
x=[−3/5x4−9/5x5−8/5x4+16/5x59/5x4+2/5x5x4x5]=x4[−3/5−8/59/510]+x5[−9/516/52/501]x = \begin{bmatrix} -3/5 x_4 - 9/5 x_5 \\ -8/5 x_4 + 16/5 x_5 \\ 9/5 x_4 + 2/5 x_5 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_4 \begin{bmatrix} -3/5 \\ -8/5 \\ 9/5 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -9/5 \\ 16/5 \\ 2/5 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
基底は [−3−8950]\begin{bmatrix} -3 \\ -8 \\ 9 \\ 5 \\ 0 \end{bmatrix}, [−916205]\begin{bmatrix} -9 \\ 16 \\ 2 \\ 0 \\ 5 \end{bmatrix}
(c)
x1+2x2−x3=0x_1 + 2x_2 - x_3 = 0
3x1−3x2+2x3=03x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0
第2式から第1式の3倍を引きます。
−9x2+5x3=0-9x_2 + 5x_3 = 0
x3=9/5x2x_3 = 9/5 x_2
x1=x3−2x2=9/5x2−2x2=−1/5x2x_1 = x_3 - 2x_2 = 9/5 x_2 - 2x_2 = -1/5 x_2
x=[−1/5x2x29/5x2]=x2[−1/519/5]x = \begin{bmatrix} -1/5 x_2 \\ x_2 \\ 9/5 x_2 \end{bmatrix} = x_2 \begin{bmatrix} -1/5 \\ 1 \\ 9/5 \end{bmatrix}
次元は1です。
基底は [−159]\begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ 9 \end{bmatrix}
(d)
x1+x2−x3+x4=0x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0
3x1+x2+2x3−x4=03x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0
第2式から第1式の3倍を引きます。
−2x2+5x3−4x4=0-2x_2 + 5x_3 - 4x_4 = 0
2x2=5x3−4x42x_2 = 5x_3 - 4x_4
x2=5/2x3−2x4x_2 = 5/2 x_3 - 2x_4
x1=−x2+x3−x4=−5/2x3+2x4+x3−x4=−3/2x3+x4x_1 = -x_2 + x_3 - x_4 = -5/2 x_3 + 2x_4 + x_3 - x_4 = -3/2 x_3 + x_4
x=[−3/2x3+x45/2x3−2x4x3x4]=x3[−3/25/210]+x4[1−201]x = \begin{bmatrix} -3/2 x_3 + x_4 \\ 5/2 x_3 - 2x_4 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -3/2 \\ 5/2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
次元は2です。
基底は [−3520]\begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, [1−201]\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
(e)
f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f(1)=a+b+c+d=0f(1) = a + b + c + d = 0
f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f′(1)=3a+2b+c=0f'(1) = 3a + 2b + c = 0
c=−3a−2bc = -3a - 2b
a+b−3a−2b+d=0a + b - 3a - 2b + d = 0
d=2a+bd = 2a + b
f(x)=ax3+bx2+(−3a−2b)x+(2a+b)=a(x3−3x+2)+b(x2−2x+1)f(x) = ax^3 + bx^2 + (-3a - 2b)x + (2a + b) = a(x^3 - 3x + 2) + b(x^2 - 2x + 1)
次元は2です。
基底は x3−3x+2x^3 - 3x + 2, x2−2x+1=(x−1)2x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2
(f)
f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f(1)=a+b+c+d=0f(1) = a + b + c + d = 0
f(−1)=−a+b−c+d=0f(-1) = -a + b - c + d = 0
足すと 2b+2d=02b + 2d = 0 より d=−bd = -b
引くと 2a+2c=02a + 2c = 0 より c=−ac = -a
f(x)=ax3+bx2−ax−b=a(x3−x)+b(x2−1)f(x) = ax^3 + bx^2 - ax - b = a(x^3 - x) + b(x^2 - 1)
次元は2です。
基底は x3−xx^3 - x, x2−1x^2 - 1

3. 最終的な答え

(a) 次元: 2、基底: [−10100]\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, [−20011]\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}
(b) 次元: 2、基底: [−3−8950]\begin{bmatrix} -3 \\ -8 \\ 9 \\ 5 \\ 0 \end{bmatrix}, [−916205]\begin{bmatrix} -9 \\ 16 \\ 2 \\ 0 \\ 5 \end{bmatrix}
(c) 次元: 1、基底: [−159]\begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ 9 \end{bmatrix}
(d) 次元: 2、基底: [−3520]\begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, [2−402]\begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}
(e) 次元: 2、基底: x3−3x+2x^3 - 3x + 2, (x−1)2(x-1)^2
(f) 次元: 2、基底: x3−xx^3 - x, x2−1x^2 - 1

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