与えられた部分空間 $W$ の次元と基底を求める問題です。具体的には、以下の6つの部分空間について、次元と基底を求めます。 (a) $W = \{ x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0 \}$, where $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$ (b) $W = \{ x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0 \}$, where $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$ (c) $W = \{ x \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 2x_2 - x_3 = 0, 3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0 \}$ (d) $W = \{ x \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0 \}$ (e) $W = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f'(1) = 0 \}$ (3次以下の実数係数多項式で、1で0になり、微分係数も0になるもの) (f) $W = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f(-1) = 0 \}$ (3次以下の実数係数多項式で、1と-1で0になるもの)

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた部分空間 $W$ の次元と基底を求める問題です。具体的には、以下の6つの部分空間について、次元と基底を求めます。

(a) $W = \{ x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0 \}$, where $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

(b) $W = \{ x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0 \}$, where $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$

(c) $W = \{ x \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 2x_2 - x_3 = 0, 3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0 \}$

(d) $W = \{ x \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0 \}$

(e) $W = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f'(1) = 0 \}$ (3次以下の実数係数多項式で、1で0になり、微分係数も0になるもの)

(f) $W = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f(-1) = 0 \}$ (3次以下の実数係数多項式で、1と-1で0になるもの)

2. 解き方の手順

(a) 行列 $A$ を簡約化し、自由変数の数を数えます。自由変数の数が $W$ の次元となり、基底は、各自由変数に対応する解ベクトルを求めれば良いです。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & -5/2 & 5/2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

自由変数は $x_3, x_5$ の2つ。

$x_3 = 1, x_5 = 0$ のとき、 $x_1 = -1, x_2 = 0, x_4 = 0$。ベクトルは $(-1, 0, 1, 0, 0)$

$x_3 = 0, x_5 = 1$ のとき、 $x_1 = -2, x_2 = 0, x_4 = 1$。ベクトルは $(-2, 0, 0, 1, 1)$

(b) 行列 $A$ を簡約化し、自由変数の数を数えます。

$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \\ 0 & -5 & -5 & -10 & 25 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & -3 & 9 & -6 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

自由変数は $x_4, x_5$ の2つ。

$x_4 = 1, x_5 = 0$ のとき、 $x_1 = 0, x_2 = -5, x_3 = 3$。ベクトルは $(0, -5, 3, 1, 0)$

$x_4 = 0, x_5 = 1$ のとき、 $x_1 = -3, x_2 = 7, x_3 = -2$。ベクトルは $(-3, 7, -2, 0, 1)$

(c) 連立方程式を解きます。

$x_1 + 2x_2 - x_3 = 0$

$3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0$

第一式を3倍して第二式から引くと、 $-9x_2 + 5x_3 = 0$

$x_3 = \frac{9}{5} x_2$

$x_1 = x_3 - 2x_2 = \frac{9}{5}x_2 - 2x_2 = -\frac{1}{5}x_2$

$x_2 = 5$ とすると、$x_1 = -1, x_3 = 9$。

ベクトルは $(-1, 5, 9)$

(d) 連立方程式を解きます。

$x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0$

$3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0$

第二式から第一式を引くと、$2x_1 + 3x_3 - 2x_4 = 0$。

$x_1 = -\frac{3}{2} x_3 + x_4$

$x_2 = x_3 - x_4 - x_1 = x_3 - x_4 + \frac{3}{2}x_3 - x_4 = \frac{5}{2}x_3 - 2x_4$

$x_3 = 2, x_4 = 0$ のとき、$x_1 = -3, x_2 = 5$。ベクトルは $(-3, 5, 2, 0)$

$x_3 = 0, x_4 = 2$ のとき、$x_1 = 2, x_2 = -4$。ベクトルは $(2, -4, 0, 2)$。これを$(1, -2, 0, 1)$としてもよい。

(e) $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ とおくと、$f(1) = a+b+c+d = 0$、$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ なので $f'(1) = 3a+2b+c = 0$。

$c = -3a - 2b$

$a+b+(-3a-2b)+d = 0$。$-2a-b+d = 0$。$d = 2a+b$

$f(x) = ax^3 + bx^2 + (-3a-2b)x + (2a+b) = a(x^3-3x+2) + b(x^2-2x+1)$

$x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2), x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

$a=1, b=0$ のとき、 $x^3 - 3x + 2$

$a=0, b=1$ のとき、 $x^2 - 2x + 1$

(f) $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ とおくと、$f(1) = a+b+c+d = 0$、$f(-1) = -a+b-c+d = 0$。

2つの式を足すと $2b+2d = 0$、$d = -b$

2つの式を引くと $2a+2c = 0$、$c = -a$

$f(x) = ax^3 + bx^2 - ax - b = a(x^3-x) + b(x^2-1)$

$a=1, b=0$ のとき、$x^3-x$

$a=0, b=1$ のとき、$x^2-1$

3. 最終的な答え

(a) 次元: 2, 基底: $\{(-1, 0, 1, 0, 0), (-2, 0, 0, 1, 1)\}$

(b) 次元: 2, 基底: $\{(0, -5, 3, 1, 0), (-3, 7, -2, 0, 1)\}$

(c) 次元: 1, 基底: $\{(-1, 5, 9)\}$

(d) 次元: 2, 基底: $\{(-3, 5, 2, 0), (1, -2, 0, 1)\}$

(e) 次元: 2, 基底: $\{x^3-3x+2, x^2-2x+1\}$

(f) 次元: 2, 基底: $\{x^3-x, x^2-1\}$