与えられた写像 $T(x)$ が線形写像かどうかを判定する。 (a) $T(x) = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ x_1 - 5x_2 \end{bmatrix} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ (b) $T(x) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + 2 \\ 2x_1 + 3x_2 - 1 \end{bmatrix} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ (c) $T(x) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ (d) $T(x) = \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$

## 問題4

1. 問題の内容

与えられた写像 $T(x)$ が線形写像かどうかを判定する。

(a) $T(x) = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ x_1 - 5x_2 \end{bmatrix} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$

(b) $T(x) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + 2 \\ 2x_1 + 3x_2 - 1 \end{bmatrix} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$

(c) $T(x) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$

(d) $T(x) = \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$

2. 解き方の手順

線形写像であるためには、以下の2つの条件を満たす必要がある。

(i) $T(u + v) = T(u) + T(v)$

(ii) $T(cu) = cT(u)$ （ただし、$c$ はスカラー）

これらの条件をそれぞれ確認していく。

(a)

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$, $y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$ とする。

$T(x + y) = \begin{bmatrix} 2(x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) \\ (x_1 + y_1) - 5(x_2 + y_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 + 2y_1 + y_2 \\ x_1 - 5x_2 + y_1 - 5y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ x_1 - 5x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2y_1 + y_2 \\ y_1 - 5y_2 \end{bmatrix} = T(x) + T(y)$

$T(cx) = \begin{bmatrix} 2(cx_1) + (cx_2) \\ (cx_1) - 5(cx_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(2x_1 + x_2) \\ c(x_1 - 5x_2) \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ x_1 - 5x_2 \end{bmatrix} = cT(x)$

したがって、$T(x)$ は線形写像である。

(b)

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$, $y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$ とする。

$T(x + y) = \begin{bmatrix} (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + 2 \\ 2(x_1 + y_1) + 3(x_2 + y_2) - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + y_1 + y_2 + 2 \\ 2x_1 + 3x_2 + 2y_1 + 3y_2 - 1 \end{bmatrix}$

$T(x) + T(y) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + 2 \\ 2x_1 + 3x_2 - 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y_1 + y_2 + 2 \\ 2y_1 + 3y_2 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + y_1 + y_2 + 4 \\ 2x_1 + 3x_2 + 2y_1 + 3y_2 - 2 \end{bmatrix}$

$T(x + y) \neq T(x) + T(y)$

したがって、$T(x)$ は線形写像ではない。

(c)

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$, $y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}$ とする。

$T(x + y) = \begin{bmatrix} (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) \\ (x_2 + y_2) - (x_3 + y_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + y_1 + y_2 \\ x_2 - x_3 + y_2 - y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y_1 + y_2 \\ y_2 - y_3 \end{bmatrix} = T(x) + T(y)$

$T(cx) = \begin{bmatrix} (cx_1) + (cx_2) \\ (cx_2) - (cx_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(x_1 + x_2) \\ c(x_2 - x_3) \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix} = cT(x)$

したがって、$T(x)$ は線形写像である。

(d)

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$, $y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}$ とする。

$T(x + y) = \begin{bmatrix} 3(x_1 + y_1) - (x_2 + y_2) + 2(x_3 + y_3) \\ (x_1 + y_1) + 3(x_2 + y_2) - (x_3 + y_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 + 3y_1 - y_2 + 2y_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 + y_1 + 3y_2 - y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3y_1 - y_2 + 2y_3 \\ y_1 + 3y_2 - y_3 \end{bmatrix} = T(x) + T(y)$

$T(cx) = \begin{bmatrix} 3(cx_1) - (cx_2) + 2(cx_3) \\ (cx_1) + 3(cx_2) - (cx_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(3x_1 - x_2 + 2x_3) \\ c(x_1 + 3x_2 - x_3) \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} 3x_1 - x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 \end{bmatrix} = cT(x)$

したがって、$T(x)$ は線形写像である。

3. 最終的な答え

(a) 線形写像である。

(b) 線形写像ではない。

(c) 線形写像である。

(d) 線形写像である。