問題2：$V = \mathbb{R}[x]_2$のベクトル $f_1(x) = 1 - x + x^2$, $f_2(x) = -1 + 2x + 2x^2$, $f_3(x) = 1 - 2x - x^2$ が $V$ の基であることを示す。 問題3：$\{u_1, u_2, u_3\}$ がベクトル空間 $V$ の基であるとき、次のベクトルの組 $\{v_1, v_2, v_3\}$ が $V$ の基となるかどうか調べる。 (a) $v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3$, $v_2 = u_1 + 2u_2 + u_3$, $v_3 = u_1 + u_2 + u_3$ (b) $v_1 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_2 = -u_1 + 3u_2 - u_3$, $v_3 = u_1 + u_3$

1. 問題の内容

問題2：$V = \mathbb{R}[x]_2$のベクトル $f_1(x) = 1 - x + x^2$, $f_2(x) = -1 + 2x + 2x^2$, $f_3(x) = 1 - 2x - x^2$ が $V$ の基であることを示す。

問題3：$\{u_1, u_2, u_3\}$ がベクトル空間 $V$ の基であるとき、次のベクトルの組 $\{v_1, v_2, v_3\}$ が $V$ の基となるかどうか調べる。

(a) $v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3$, $v_2 = u_1 + 2u_2 + u_3$, $v_3 = u_1 + u_2 + u_3$

(b) $v_1 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_2 = -u_1 + 3u_2 - u_3$, $v_3 = u_1 + u_3$

2. 解き方の手順

問題2：

$V = \mathbb{R}[x]_2$ は2次以下の実数係数多項式全体からなるベクトル空間である。$V$ の次元は3である。ベクトル $f_1(x), f_2(x), f_3(x)$ が線形独立であることを示せば、これらが $V$ の基であることが示される。

$c_1f_1(x) + c_2f_2(x) + c_3f_3(x) = 0$ を満たす $c_1, c_2, c_3$ を求める。

$c_1(1 - x + x^2) + c_2(-1 + 2x + 2x^2) + c_3(1 - 2x - x^2) = 0$

$(c_1 - c_2 + c_3) + (-c_1 + 2c_2 - 2c_3)x + (c_1 + 2c_2 - c_3)x^2 = 0$

これは恒等的に0であるから、次の連立方程式を得る。

$c_1 - c_2 + c_3 = 0$

$-c_1 + 2c_2 - 2c_3 = 0$

$c_1 + 2c_2 - c_3 = 0$

この連立方程式を行列で表現する。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

行列式を計算する。

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(2(-1) - (-2)2) - (-1)((-1)(-1) - (-2)(1)) + 1((-1)2 - 2(1)) = 1( -2 + 4) + 1(1+2) + 1(-2-2) = 2 + 3 - 4 = 1 \neq 0$

したがって、 $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ である。よって、$f_1(x), f_2(x), f_3(x)$ は線形独立である。

したがって、$f_1(x), f_2(x), f_3(x)$ は $V$ の基である。

問題3：

$\{u_1, u_2, u_3\}$ は $V$ の基であるから、$V$ の任意のベクトルは $u_1, u_2, u_3$ の線形結合で表せる。$\{v_1, v_2, v_3\}$ が $V$ の基であるためには、$v_1, v_2, v_3$ が線形独立であることが必要十分条件である。

(a)

$v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3$, $v_2 = u_1 + 2u_2 + u_3$, $v_3 = u_1 + u_2 + u_3$

$c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 = 0$ を満たす $c_1, c_2, c_3$ を求める。

$c_1(2u_1 + u_2 - u_3) + c_2(u_1 + 2u_2 + u_3) + c_3(u_1 + u_2 + u_3) = 0$

$(2c_1 + c_2 + c_3)u_1 + (c_1 + 2c_2 + c_3)u_2 + (-c_1 + c_2 + c_3)u_3 = 0$

$u_1, u_2, u_3$ は線形独立であるから、

$2c_1 + c_2 + c_3 = 0$

$c_1 + 2c_2 + c_3 = 0$

$-c_1 + c_2 + c_3 = 0$

この連立方程式を行列で表現する。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

行列式を計算する。

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(2 - 1) - 1(1 - (-1)) + 1(1 - (-2)) = 2(1) - 1(2) + 1(3) = 2 - 2 + 3 = 3 \neq 0$

したがって、$c_1 = c_2 = c_3 = 0$ である。よって、$v_1, v_2, v_3$ は線形独立である。

したがって、$v_1, v_2, v_3$ は $V$ の基である。

(b)

$v_1 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_2 = -u_1 + 3u_2 - u_3$, $v_3 = u_1 + u_3$

$c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 = 0$ を満たす $c_1, c_2, c_3$ を求める。

$c_1(u_1 - u_2 + u_3) + c_2(-u_1 + 3u_2 - u_3) + c_3(u_1 + u_3) = 0$

$(c_1 - c_2 + c_3)u_1 + (-c_1 + 3c_2)u_2 + (c_1 - c_2 + c_3)u_3 = 0$

$u_1, u_2, u_3$ は線形独立であるから、

$c_1 - c_2 + c_3 = 0$

$-c_1 + 3c_2 = 0$

$c_1 - c_2 + c_3 = 0$

この連立方程式を行列で表現する。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

行列式を計算する。

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(3(1) - 0(-1)) - (-1)((-1)(1) - 0(1)) + 1((-1)(-1) - 3(1)) = 1(3) + 1(-1) + 1(1-3) = 3 + 1 - 2 = 2\neq 0$

$c_1 - c_2 + c_3 = 0$

$-c_1 + 3c_2 = 0$

$c_1 = 3c_2$

$3c_2 - c_2 + c_3 = 0$

$2c_2 + c_3 = 0$

$c_3 = -2c_2$

例えば $c_2 = 1$ とすると、$c_1 = 3$、$c_3 = -2$ となる。

$c_1, c_2, c_3$ がすべて0でない解が存在するので、$v_1, v_2, v_3$ は線形従属である。

したがって、$v_1, v_2, v_3$ は $V$ の基ではない。

3. 最終的な答え

問題2：$f_1(x), f_2(x), f_3(x)$ は $V$ の基である。

問題3：

(a) $v_1, v_2, v_3$ は $V$ の基である。

(b) $v_1, v_2, v_3$ は $V$ の基ではない。