問題2: $V = R[x]_2$ (2次以下の実数係数多項式全体のなすベクトル空間) のベクトル $f_1(x) = 1 - x + x^2$, $f_2(x) = -1 + 2x + 2x^2$, $f_3(x) = 1 - 2x - x^2$ が $V$ の基であることを示す。 問題3: $\{u_1, u_2, u_3\}$ がベクトル空間 $V$ の基であるとき、次のベクトルの組 $\{v_1, v_2, v_3\}$ が $V$ の基であるかどうかを判定する。 (a) $v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3$, $v_2 = u_1 + 2u_2 + u_3$, $v_3 = u_1 + u_2 + u_3$ (b) $v_1 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_2 = -u_1 + 3u_2 - u_3$, $v_3 = u_1 + u_3$

1. 問題の内容

問題2: $V = R[x]_2$ (2次以下の実数係数多項式全体のなすベクトル空間) のベクトル $f_1(x) = 1 - x + x^2$, $f_2(x) = -1 + 2x + 2x^2$, $f_3(x) = 1 - 2x - x^2$ が $V$ の基であることを示す。

問題3: $\{u_1, u_2, u_3\}$ がベクトル空間 $V$ の基であるとき、次のベクトルの組 $\{v_1, v_2, v_3\}$ が $V$ の基であるかどうかを判定する。

(a) $v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3$, $v_2 = u_1 + 2u_2 + u_3$, $v_3 = u_1 + u_2 + u_3$

(b) $v_1 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_2 = -u_1 + 3u_2 - u_3$, $v_3 = u_1 + u_3$

2. 解き方の手順

問題2:

$f_1(x), f_2(x), f_3(x)$ が $V$ の基であるためには、線形独立である必要がある。つまり、$c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) + c_3 f_3(x) = 0$ となるスカラー $c_1, c_2, c_3$ が $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ のみであることを示す。

$c_1(1 - x + x^2) + c_2(-1 + 2x + 2x^2) + c_3(1 - 2x - x^2) = 0$

$(c_1 - c_2 + c_3) + (-c_1 + 2c_2 - 2c_3)x + (c_1 + 2c_2 - c_3)x^2 = 0$

この式が恒等的に0となるためには、各係数が0でなければならない。

$c_1 - c_2 + c_3 = 0$

$-c_1 + 2c_2 - 2c_3 = 0$

$c_1 + 2c_2 - c_3 = 0$

この連立一次方程式を行列で表現すると

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

行列式を計算する:

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(2(-1) - (-2)(2)) - (-1)((-1)(-1) - (-2)(1)) + 1((-1)(2) - 2(1)) = 1(0) + 1(3) + 1(-4) = -1$

行列式が0でないので、この連立一次方程式の解は $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ のみである。したがって、$f_1(x), f_2(x), f_3(x)$ は線形独立であり、$R[x]_2$ の基である。

問題3(a):

$v_1, v_2, v_3$ が $V$ の基であるためには、線形独立である必要がある。

$c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = 0$ となるスカラー $c_1, c_2, c_3$ が $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ のみであることを示す。

$c_1(2u_1 + u_2 - u_3) + c_2(u_1 + 2u_2 + u_3) + c_3(u_1 + u_2 + u_3) = 0$

$(2c_1 + c_2 + c_3)u_1 + (c_1 + 2c_2 + c_3)u_2 + (-c_1 + c_2 + c_3)u_3 = 0$

$u_1, u_2, u_3$ は基なので線形独立である。したがって、

$2c_1 + c_2 + c_3 = 0$

$c_1 + 2c_2 + c_3 = 0$

$-c_1 + c_2 + c_3 = 0$

この連立一次方程式を行列で表現すると

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

行列式を計算する:

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(2(1) - 1(1)) - 1(1(1) - 1(-1)) + 1(1(1) - 2(-1)) = 2(1) - 1(2) + 1(3) = 2 - 2 + 3 = 3$

行列式が0でないので、この連立一次方程式の解は $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ のみである。したがって、$v_1, v_2, v_3$ は線形独立であり、$V$ の基である。

問題3(b):

$v_1, v_2, v_3$ が $V$ の基であるためには、線形独立である必要がある。

$c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = 0$ となるスカラー $c_1, c_2, c_3$ が $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ のみであることを示す。

$c_1(u_1 - u_2 + u_3) + c_2(-u_1 + 3u_2 - u_3) + c_3(u_1 + u_3) = 0$

$(c_1 - c_2 + c_3)u_1 + (-c_1 + 3c_2)u_2 + (c_1 - c_2 + c_3)u_3 = 0$

$u_1, u_2, u_3$ は基なので線形独立である。したがって、

$c_1 - c_2 + c_3 = 0$

$-c_1 + 3c_2 = 0$

$c_1 - c_2 + c_3 = 0$

この連立一次方程式を行列で表現すると

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

行列式を計算する:

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(3(1) - 0(-1)) - (-1)((-1)(1) - 0(1)) + 1((-1)(-1) - 3(1)) = 1(3) + 1(-1) + 1(-2) = 3 - 1 - 2 = 0$

行列式が0なので、この連立一次方程式は自明な解以外の解を持つ。例えば、第2式より$c_1 = 3c_2$である。第1式に代入すると、$3c_2 - c_2 + c_3 = 0$より$2c_2 + c_3 = 0$、すなわち$c_3 = -2c_2$。

$c_2 = 1$とすると、$c_1 = 3$、$c_3 = -2$ となる。

したがって、$v_1, v_2, v_3$ は線形従属であり、$V$ の基ではない。

3. 最終的な答え

問題2: $f_1(x), f_2(x), f_3(x)$ は $V$ の基である。

問題3(a): $v_1, v_2, v_3$ は $V$ の基である。

問題3(b): $v_1, v_2, v_3$ は $V$ の基ではない。