ベクトル空間 $V$ の基 $\\{u_1, u_2, u_3\\}$ が与えられたとき、以下のベクトルの組 $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ が $V$ の基となるかどうかを調べる問題です。 (a) $v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3$, $v_2 = u_1 + 2u_2 + u_3$, $v_3 = u_1 + u_2 + u_3$ (b) $v_1 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_2 = -u_1 + 3u_2 - u_3$, $v_3 = u_1 + u_3$

1. 問題の内容

ベクトル空間 $V$ の基 $\\{u_1, u_2, u_3\\}$ が与えられたとき、以下のベクトルの組 $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ が $V$ の基となるかどうかを調べる問題です。

(a) $v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3$, $v_2 = u_1 + 2u_2 + u_3$, $v_3 = u_1 + u_2 + u_3$

(b) $v_1 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_2 = -u_1 + 3u_2 - u_3$, $v_3 = u_1 + u_3$

2. 解き方の手順

ベクトル空間の基となるかどうかを判定するには、与えられたベクトルが線形独立であるかどうかを調べます。これは、与えられたベクトルを列ベクトルとする行列の行列式を計算し、その値がゼロでないかどうかを確認することで判定できます。行列式がゼロでない場合、ベクトルは線形独立であり、与えられたベクトル空間の基となります。

(a) の場合:

$v_1, v_2, v_3$を $u_1, u_2, u_3$の線形結合として表す行列を考えます。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

行列 $A$ の行列式を計算します。

$\det(A) = 2(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + 1(1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) = 2(1) - 1(2) + 1(3) = 2 - 2 + 3 = 3$

$\det(A) = 3 \neq 0$ であるので、$v_1, v_2, v_3$ は線形独立であり、$V$ の基となります。

(b) の場合:

$v_1, v_2, v_3$を $u_1, u_2, u_3$の線形結合として表す行列を考えます。

$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

行列 $B$ の行列式を計算します。

$\det(B) = 1(3 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - (-1)(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + 1((-1) \cdot (-1) - 3 \cdot 1) = 1(3) - (-1)(-1) + 1(1 - 3) = 3 - 1 - 2 = 0$

$\det(B) = 0$ であるので、$v_1, v_2, v_3$ は線形従属であり、$V$ の基とはなりません。

3. 最終的な答え

(a) $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ は $V$ の基となる。

(b) $\\{v_1, v_2, v_3\\}$ は $V$ の基とならない。