$V = \mathbb{R}[x]_2$ は2次以下の実数係数多項式全体のなすベクトル空間である。 $f_1(x) = 1 - x + x^2$, $f_2(x) = -1 + 2x + 2x^2$, $f_3(x) = 1 - 2x - x^2$ の3つの多項式が $V$ の基底であることを示す。

1. 問題の内容

$V = \mathbb{R}[x]_2$ は2次以下の実数係数多項式全体のなすベクトル空間である。

$f_1(x) = 1 - x + x^2$, $f_2(x) = -1 + 2x + 2x^2$, $f_3(x) = 1 - 2x - x^2$ の3つの多項式が $V$ の基底であることを示す。

2. 解き方の手順

ベクトル空間 $V$ の基底であることを示すためには、与えられたベクトルが線形独立であり、かつ $V$ を張ることを示す必要がある。$\mathbb{R}[x]_2$ の次元は3なので、線形独立性を示せば、それが基底であることが示される。

まず、線形独立性を示す。

$c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) + c_3 f_3(x) = 0$ を仮定する。ここで $c_1, c_2, c_3$ は実数である。

これを展開すると、

$c_1 (1 - x + x^2) + c_2 (-1 + 2x + 2x^2) + c_3 (1 - 2x - x^2) = 0$

$(c_1 - c_2 + c_3) + (-c_1 + 2c_2 - 2c_3)x + (c_1 + 2c_2 - c_3)x^2 = 0$

この式が $x$ に関わらず成り立つためには、各係数が0でなければならない。

したがって、以下の連立方程式が得られる。

\begin{align*}

c_1 - c_2 + c_3 &= 0 \\

-c_1 + 2c_2 - 2c_3 &= 0 \\

c_1 + 2c_2 - c_3 &= 0

\end{align*}

この連立方程式を行列で表現すると、

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & 1 \\

-1 & 2 & -2 \\

1 & 2 & -1

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

c_1 \\ c_2 \\ c_3

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

0 \\ 0 \\ 0

\end{pmatrix}

$$

この係数行列の行列式を計算する。

$\begin{vmatrix}

1 & -1 & 1 \\

-1 & 2 & -2 \\

1 & 2 & -1

\end{vmatrix} = 1(2(-1) - (-2)(2)) - (-1)((-1)(-1) - (-2)(1)) + 1((-1)(2) - 2(1)) = 1(0) + 1(3) + 1(-4) = -1 \neq 0$

行列式が0でないので、この連立方程式の解は $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ のみである。

したがって、$f_1(x), f_2(x), f_3(x)$ は線形独立である。

$\mathbb{R}[x]_2$ の次元は3であり、3つの線形独立なベクトルが存在するため、これらは $V$ の基底をなす。

3. 最終的な答え

$f_1(x) = 1 - x + x^2$, $f_2(x) = -1 + 2x + 2x^2$, $f_3(x) = 1 - 2x - x^2$ は $V = \mathbb{R}[x]_2$ の基底である。