$V = \mathbb{R}[x]_2$ において、次の3つのベクトル $f_1(x) = 1 - x + x^2$, $f_2(x) = -1 + 2x + 2x^2$, $f_3(x) = 1 - 2x - x^2$ が $V$ の基であることを示す。

1. 問題の内容

$V = \mathbb{R}[x]_2$ において、次の3つのベクトル $f_1(x) = 1 - x + x^2$, $f_2(x) = -1 + 2x + 2x^2$, $f_3(x) = 1 - 2x - x^2$ が $V$ の基であることを示す。

2. 解き方の手順

$V = \mathbb{R}[x]_2$ は2次以下の多項式全体からなるベクトル空間であり、その次元は3である。

$f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x)$ が $V$ の基であるためには、これらが線形独立である必要がある。

線形独立性を示すために、次の式を考える。

$c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) + c_3 f_3(x) = 0$

ここで、$c_1$, $c_2$, $c_3$ は実数である。この式が $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ の場合にのみ成り立つことを示せば、線形独立であることが証明される。

$c_1(1 - x + x^2) + c_2(-1 + 2x + 2x^2) + c_3(1 - 2x - x^2) = 0$

$(c_1 - c_2 + c_3) + (-c_1 + 2c_2 - 2c_3)x + (c_1 + 2c_2 - c_3)x^2 = 0$

この式が恒等的に0になるためには、各次数の係数が0である必要がある。したがって、次の連立一次方程式を得る。

$c_1 - c_2 + c_3 = 0$

$-c_1 + 2c_2 - 2c_3 = 0$

$c_1 + 2c_2 - c_3 = 0$

この連立一次方程式を行列で表現する。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この行列の行列式を計算する。

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(2 \cdot (-1) - (-2) \cdot 2) - (-1)((-1) \cdot (-1) - (-2) \cdot 1) + 1((-1) \cdot 2 - 2 \cdot 1) = 1(-2 + 4) + 1(1 + 2) + 1(-2 - 2) = 2 + 3 - 4 = 1$

行列式が0でないため、この連立一次方程式の解は $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ のみである。

したがって、$f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x)$ は線形独立である。

$V$ の次元は3であり、$f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x)$ は線形独立な3つのベクトルであるため、$f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x)$ は $V$ の基である。

3. 最終的な答え

$f_1(x) = 1 - x + x^2$, $f_2(x) = -1 + 2x + 2x^2$, $f_3(x) = 1 - 2x - x^2$ は $V = \mathbb{R}[x]_2$ の基である。