問題2: $V = \mathbb{R}[x]_2$のベクトル$f_1(x) = 1 - x + x^2$, $f_2(x) = -1 + 2x + 2x^2$, $f_3(x) = 1 - 2x - x^2$が$V$の基であることを示す。 問題3: ベクトル空間$V$の基$\{u_1, u_2, u_3\}$が与えられたとき、次のベクトルの組$\{v_1, v_2, v_3\}$が$V$の基となるかどうかを調べる。 (a) $v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3$, $v_2 = u_1 + 2u_2 + u_3$, $v_3 = u_1 + u_2 + u_3$ (b) $v_1 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_2 = -u_1 + 3u_2 - u_3$, $v_3 = u_1 + u_3$

1. 問題の内容

問題2: $V = \mathbb{R}[x]_2$のベクトル$f_1(x) = 1 - x + x^2$, $f_2(x) = -1 + 2x + 2x^2$, $f_3(x) = 1 - 2x - x^2$が$V$の基であることを示す。

問題3: ベクトル空間$V$の基$\{u_1, u_2, u_3\}$が与えられたとき、次のベクトルの組$\{v_1, v_2, v_3\}$が$V$の基となるかどうかを調べる。

(a) $v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3$, $v_2 = u_1 + 2u_2 + u_3$, $v_3 = u_1 + u_2 + u_3$

(b) $v_1 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_2 = -u_1 + 3u_2 - u_3$, $v_3 = u_1 + u_3$

2. 解き方の手順

問題2:

$f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x)$が線形独立であることを示せば良い。つまり、$c_1f_1(x) + c_2f_2(x) + c_3f_3(x) = 0$を満たす$c_1$, $c_2$, $c_3$が$c_1 = c_2 = c_3 = 0$のみであることを示せば良い。

$c_1(1 - x + x^2) + c_2(-1 + 2x + 2x^2) + c_3(1 - 2x - x^2) = 0$

$(c_1 - c_2 + c_3) + (-c_1 + 2c_2 - 2c_3)x + (c_1 + 2c_2 - c_3)x^2 = 0$

これは、$x$に関する恒等式なので、各係数は0でなければならない。

よって、次の連立方程式を得る。

$c_1 - c_2 + c_3 = 0$

$-c_1 + 2c_2 - 2c_3 = 0$

$c_1 + 2c_2 - c_3 = 0$

この連立方程式を解く。

第一式と第二式を足すと、$c_2 - c_3 = 0$より、$c_2 = c_3$

第一式と第三式を引くと、$-3c_2 + 2c_3 = 0$

$c_2 = c_3$を代入すると、$-3c_2 + 2c_2 = 0$より、$-c_2 = 0$

したがって、$c_2 = 0$。ゆえに、$c_3 = 0$

第一式に$c_2 = 0$, $c_3 = 0$を代入すると、$c_1 = 0$

よって、$c_1 = c_2 = c_3 = 0$なので、$f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x)$は線形独立である。

$\mathbb{R}[x]_2$の次元は3なので、3つの線形独立なベクトルがあれば基になる。

問題3(a):

$\{v_1, v_2, v_3\}$が線形独立であることを示す。つまり、$c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 = 0$を満たす$c_1, c_2, c_3$が$c_1 = c_2 = c_3 = 0$のみであることを示す。

$c_1(2u_1 + u_2 - u_3) + c_2(u_1 + 2u_2 + u_3) + c_3(u_1 + u_2 + u_3) = 0$

$(2c_1 + c_2 + c_3)u_1 + (c_1 + 2c_2 + c_3)u_2 + (-c_1 + c_2 + c_3)u_3 = 0$

$\{u_1, u_2, u_3\}$は基なので、線形独立である。したがって、

$2c_1 + c_2 + c_3 = 0$

$c_1 + 2c_2 + c_3 = 0$

$-c_1 + c_2 + c_3 = 0$

この連立方程式を解く。

第一式から第二式を引くと、$c_1 - c_2 = 0$より、$c_1 = c_2$

第三式に$c_1 = c_2$を代入すると、$-c_1 + c_1 + c_3 = 0$より、$c_3 = 0$

第一式に$c_1 = c_2$, $c_3 = 0$を代入すると、$2c_1 + c_1 = 0$より、$3c_1 = 0$

したがって、$c_1 = 0$。ゆえに、$c_2 = 0$

よって、$c_1 = c_2 = c_3 = 0$なので、$v_1, v_2, v_3$は線形独立である。

$V$の次元は3なので、3つの線形独立なベクトルがあれば基になる。

問題3(b):

$v_1 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_2 = -u_1 + 3u_2 - u_3$, $v_3 = u_1 + u_3$

$c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 = 0$を考える。

$c_1(u_1 - u_2 + u_3) + c_2(-u_1 + 3u_2 - u_3) + c_3(u_1 + u_3) = 0$

$(c_1 - c_2 + c_3)u_1 + (-c_1 + 3c_2)u_2 + (c_1 - c_2 + c_3)u_3 = 0$

$\{u_1, u_2, u_3\}$は$V$の基なので、線形独立。

したがって、

$c_1 - c_2 + c_3 = 0$

$-c_1 + 3c_2 = 0$

$c_1 - c_2 + c_3 = 0$

第一式と第三式は同じなので、

$c_1 - c_2 + c_3 = 0$

$-c_1 + 3c_2 = 0$

第二式より、$c_1 = 3c_2$

第一式に代入すると、$3c_2 - c_2 + c_3 = 0$より、$2c_2 + c_3 = 0$

$c_3 = -2c_2$

$c_2 = 1$とすると、$c_1 = 3$, $c_3 = -2$

$3v_1 + v_2 - 2v_3 = 0$となるので、$v_1, v_2, v_3$は線形独立ではない。

3. 最終的な答え

問題2: $f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x)$は$V$の基である。

問題3(a): $\{v_1, v_2, v_3\}$は$V$の基である。

問題3(b): $\{v_1, v_2, v_3\}$は$V$の基ではない。