与えられたベクトル空間 $W$ に対して、その次元と基底を求める問題です。具体的には、(a)から(f)までの6つの場合について、それぞれのベクトル空間 $W$ の次元と基底を求める必要があります。

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられたベクトル空間 $W$ に対して、その次元と基底を求める問題です。具体的には、(a)から(f)までの6つの場合について、それぞれのベクトル空間 $W$ の次元と基底を求める必要があります。

2. 解き方の手順

**(a)の場合:**

$W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^5 \mid A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}$, ただし、$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

まず、行列 $A$ を行基本変形によって簡約化します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & -5/2 & 5/2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

したがって、$x_1 = -x_3 - 2x_5$, $x_2 = 0$, $x_4 = x_5$となります。

$x_3$と$x_5$は自由変数であるため、基底は

$\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

次元は2です。

**(b)の場合:**

$W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^5 \mid A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}$, ただし、$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \\ 0 & -5 & -5 & -10 & 25 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & -3 & 9 & -6 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

$x_1 = -3x_5$, $x_2 = -5x_4 + 7x_5$, $x_3 = 3x_4 - 2x_5$

基底: $\begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

次元は2です。

**(c)の場合:**

$W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 2x_2 - x_3 = 0, 3x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 0 \}$

連立方程式を解く:

$x_1 + 2x_2 = x_3$

$3x_1 - 3x_2 = -2x_3$

$3x_1 + 6x_2 = 3x_3$

$9x_2 = 5x_3$

$x_2 = \frac{5}{9} x_3$

$x_1 = x_3 - 2x_2 = x_3 - \frac{10}{9} x_3 = -\frac{1}{9} x_3$

したがって、$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{9} x_3 \\ \frac{5}{9} x_3 \\ x_3 \end{bmatrix} = \frac{x_3}{9} \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ 9 \end{bmatrix}$

基底: $\begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ 9 \end{bmatrix}$

次元は1です。

**(d)の場合:**

$W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0 \}$

連立方程式を解く:

$x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0$

$3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0$

$2x_1 - 3x_3 + 2x_4 = 0$

$x_1 = \frac{3}{2} x_3 - x_4$

$x_2 = -x_1 + x_3 - x_4 = -\frac{3}{2} x_3 + x_4 + x_3 - x_4 = -\frac{1}{2} x_3$

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} x_3 - x_4 \\ -\frac{1}{2} x_3 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} \frac{3}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

基底: $\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

次元は2です。

**(e)の場合:**

$W = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f'(1) = 0 \}$

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$f(1) = a + b + c + d = 0$

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

$f'(1) = 3a + 2b + c = 0$

$c = -3a - 2b$

$a + b + (-3a - 2b) + d = 0$

$-2a - b + d = 0$

$d = 2a + b$

$f(x) = ax^3 + bx^2 + (-3a - 2b)x + (2a + b) = a(x^3 - 3x + 2) + b(x^2 - 2x + 1) = a(x-1)^2(x+2) + b(x-1)^2$

基底: $(x-1)^2(x+2), (x-1)^2$

次元は2です。

**(f)の場合:**

$W = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x]_3 \mid f(1) = 0, f(-1) = 0 \}$

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$f(1) = a + b + c + d = 0$

$f(-1) = -a + b - c + d = 0$

$2b + 2d = 0$

$b = -d$

$a + (-d) + c + d = 0$

$a + c = 0$

$c = -a$

$f(x) = ax^3 - dx^2 - ax + d = a(x^3 - x) + d(-x^2 + 1) = a(x(x-1)(x+1)) + d((1-x)(1+x))$

基底: $x^3-x, 1-x^2$

次元は2です。

3. 最終的な答え

**(a)**

次元: 2

基底: $\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

**(b)**

次元: 2

基底: $\begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

**(c)**

次元: 1

基底: $\begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ 9 \end{bmatrix}$

**(d)**

次元: 2

基底: $\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

**(e)**

次元: 2

基底: $(x-1)^2(x+2), (x-1)^2$

**(f)**

次元: 2

基底: $x^3 - x, 1-x^2$