問題は、ある表面から得られた3次の行列式について、以下の点を考察・議論することを求めています。 * 行列式の式の形、多重線形性、交代性、退化性 * 転置行列との関係 * $a_1, a_2, a_3$ （あるいは他の成分）の多項式として見た場合の次数、係数など

1. 問題の内容

問題は、ある表面から得られた3次の行列式について、以下の点を考察・議論することを求めています。

* 行列式の式の形、多重線形性、交代性、退化性

* 転置行列との関係

* $a_1, a_2, a_3$ （あるいは他の成分）の多項式として見た場合の次数、係数など

2. 解き方の手順

一般的に3次正方行列

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

の行列式は以下のように計算できます。

$det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$

あるいは、列ベクトルを用いて

$A = (\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3)$

と表すと、$\vec{a}_1$, $\vec{a}_2$, $\vec{a}_3$ は列ベクトルを表します。

* **式の形と多重線形性:** 行列式は、各列ベクトルに関して線形性を持つため、多重線形性を持ちます。

つまり、ある列ベクトルをスカラー倍すると、行列式もスカラー倍されます。また、ある列ベクトルを2つのベクトルの和で表すと、行列式はそれぞれのベクトルに関する行列式の和になります。

* **交代性:** 2つの列ベクトルを入れ替えると、行列式の符号が反転します。

* **退化性:** 2つの列ベクトルが等しい場合、行列式は0になります。

* **転置:** 転置行列の行列式は、元の行列の行列式と等しくなります。

$det(A^T) = det(A)$

* **多項式としての表現:** 行列式は、各成分の多項式として表すことができます。

上の展開式を見ると、各成分について高々1次であり、全体としては3次の同次多項式となります。

例えば、$a_{11}, a_{12}, a_{13}$に関する多項式と見ると、それは1次の多項式であり、係数はそれぞれ$(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}), -(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}), (a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$です。他の成分についても同様に議論できます。

3. 最終的な答え

* 3次の行列式は多重線形性と交代性を持ちます。

* 転置行列の行列式は元の行列の行列式と等しいです。

* 各成分に関する多項式として見た場合、高々1次であり、全体としては3次の同次多項式になります。

* 係数は、残りの成分で構成される行列式の一部です。