与えられた3点を通る2次関数を求める問題です。2つの問題があります。 (1) (0, 3), (1, 0), (2, 1) を通る2次関数を求める。 (2) (-1, 1), (1, -5), (3, 5) を通る2次関数を求める。

1. 問題の内容

与えられた3点を通る2次関数を求める問題です。2つの問題があります。

(1) (0, 3), (1, 0), (2, 1) を通る2次関数を求める。

(2) (-1, 1), (1, -5), (3, 5) を通る2次関数を求める。

2. 解き方の手順

2次関数は一般的に $y = ax^2 + bx + c$ の形で表されます。与えられた3点の座標をこの式に代入することで、$a$, $b$, $c$ に関する3つの連立方程式を得ます。この連立方程式を解くことで、$a$, $b$, $c$ の値を求め、2次関数を決定します。

(1) の場合:

点 (0, 3) を通るので、

$3 = a(0)^2 + b(0) + c$

$c = 3$

点 (1, 0) を通るので、

$0 = a(1)^2 + b(1) + c$

$a + b + c = 0$

点 (2, 1) を通るので、

$1 = a(2)^2 + b(2) + c$

$4a + 2b + c = 1$

$c = 3$ を他の2つの式に代入します。

$a + b + 3 = 0$

$4a + 2b + 3 = 1$

つまり、

$a + b = -3$

$4a + 2b = -2$

2つ目の式を2で割ると $2a + b = -1$ になります。

$(2a + b) - (a + b) = -1 - (-3)$

$a = 2$

$a + b = -3$ より、

$2 + b = -3$

$b = -5$

したがって、$a = 2$, $b = -5$, $c = 3$ となり、求める2次関数は $y = 2x^2 - 5x + 3$ です。

(2) の場合:

点 (-1, 1) を通るので、

$1 = a(-1)^2 + b(-1) + c$

$a - b + c = 1$

点 (1, -5) を通るので、

$-5 = a(1)^2 + b(1) + c$

$a + b + c = -5$

点 (3, 5) を通るので、

$5 = a(3)^2 + b(3) + c$

$9a + 3b + c = 5$

$a - b + c = 1$

$a + b + c = -5$

$9a + 3b + c = 5$

2つの式を引き算すると、

$(a - b + c) - (a + b + c) = 1 - (-5)$

$-2b = 6$

$b = -3$

$b = -3$ を他の2つの式に代入します。

$a + 3 + c = 1$

$9a - 9 + c = 5$

つまり、

$a + c = -2$

$9a + c = 14$

$(9a + c) - (a + c) = 14 - (-2)$

$8a = 16$

$a = 2$

$a + c = -2$ より、

$2 + c = -2$

$c = -4$

したがって、$a = 2$, $b = -3$, $c = -4$ となり、求める2次関数は $y = 2x^2 - 3x - 4$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 5x + 3$

(2) $y = 2x^2 - 3x - 4$