与えられた和 $S_n = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた和 $S_n = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$S_n$ を書き下します。

$S_n = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^n$

次に、$S_n$ に 2 を掛けたものを書き下します。

$2S_n = 1 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^4 + \dots + (2n-3) \cdot 2^n + (2n-1) \cdot 2^{n+1}$

$S_n$ から $2S_n$ を引きます。

$S_n - 2S_n = (1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^n) - (1 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^4 + \dots + (2n-3) \cdot 2^n + (2n-1) \cdot 2^{n+1})$

$-S_n = 1 \cdot 2 + (3-1) \cdot 2^2 + (5-3) \cdot 2^3 + \dots + ((2n-1) - (2n-3)) \cdot 2^n - (2n-1) \cdot 2^{n+1}$

$-S_n = 2 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \dots + 2 \cdot 2^n - (2n-1) \cdot 2^{n+1}$

$-S_n = 2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{n+1} - (2n-1) \cdot 2^{n+1}$

$2^3$ から $2^{n+1}$ までの等比数列の和を求めます。

初項 $a = 2^3 = 8$, 公比 $r = 2$, 項数 $n-1$ なので、

$\sum_{k=3}^{n+1} 2^k = \frac{2^3(2^{n-1}-1)}{2-1} = 8(2^{n-1} - 1) = 2^{n+2} - 8$

したがって、

$-S_n = 2 + (2^{n+2} - 8) - (2n-1) \cdot 2^{n+1}$

$-S_n = 2^{n+2} - 6 - (2n-1) \cdot 2^{n+1}$

$-S_n = 2^{n+2} - 6 - (2n \cdot 2^{n+1} - 2^{n+1})$

$-S_n = 2^{n+2} - 6 - n \cdot 2^{n+2} + 2^{n+1}$

$-S_n = 2^{n+2} + 2^{n+1} - n \cdot 2^{n+2} - 6$

$-S_n = 4 \cdot 2^n + 2 \cdot 2^n - 4n \cdot 2^n - 6$

$-S_n = 6 \cdot 2^n - n \cdot 4 \cdot 2^n - 6$

$S_n = -6 \cdot 2^n + n \cdot 2^{n+2} + 6 = (n-3/2)2^{n+2} + 6 = (n-1) 2^{n+1} + 6$

$S_n = (2n-2)2^n + 6$

$-S_n = 2 + 2^3 + \dots + 2^{n+1} - (2n-1)2^{n+1}$

$-S_n = 2 + \frac{2^3(2^{n-1}-1)}{2-1} - (2n-1)2^{n+1}$

$-S_n = 2 + 8(2^{n-1}-1) - (2n-1)2^{n+1}$

$-S_n = 2 + 2^{n+2} - 8 - (2n-1)2^{n+1}$

$-S_n = 2^{n+2} - 6 - (2n-1)2^{n+1}$

$-S_n = 2^{n+2} - 6 - 2n2^{n+1} + 2^{n+1}$

$-S_n = 4(2^n) - 6 - 4n(2^n) + 2(2^n)$

$-S_n = 6(2^n) - 4n(2^n) - 6$

$S_n = (4n-6)2^n + 6 = (2n-3)2^{n+1} + 6 = 2(2n-3)2^n + 6$

3. 最終的な答え

$S_n = (2n-3)2^{n+1} + 6$