正の奇数の列を、第$n$区画に$(2n-1)$個の項が入るように区切る。 (1) 第4区画の初項19, 末項31, 項数7である。第4区画に入る数の和を求める。 (2) 各区画の最初の数を第5区画まで並べる。 (3) 第$n$区画の最初の数を求める。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第$n$区画に$(2n-1)$個の項が入るように区切る。

(1) 第4区画の初項19, 末項31, 項数7である。第4区画に入る数の和を求める。

(2) 各区画の最初の数を第5区画まで並べる。

(3) 第$n$区画の最初の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第4区画の和を求める。

等差数列の和の公式を用いる。初項$a$, 末項$l$, 項数$n$とすると、和$S$は

$S = \frac{n(a+l)}{2}$

第4区画では、$a=19$, $l=31$, $n=7$なので、

$S = \frac{7(19+31)}{2} = \frac{7(50)}{2} = 7(25) = 175$

(2) 各区画の最初の数を第5区画まで並べる。

第1区画の最初の数：1

第2区画の最初の数：3

第3区画の最初の数：9

第4区画の最初の数：19

第5区画の最初の数：33

したがって、1, 3, 9, 19, 33

(3) 第$n$区画の最初の数を求める。

各区画の最初の数の数列を考える。1, 3, 9, 19, 33, ...

この数列の階差数列は、2, 6, 10, 14, ...

さらに階差数列をとると、4, 4, 4, ... となる。

したがって、求める数列は階差数列が等差数列になる数列である。

元の数列の第$n$項を$a_n$とすると、

$a_1 = 1$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2 + 4(k-1)) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k - 2) = 1 + 4\sum_{k=1}^{n-1} k - 2\sum_{k=1}^{n-1} 1 = 1 + 4\frac{(n-1)n}{2} - 2(n-1) = 1 + 2(n-1)n - 2(n-1) = 1 + 2n^2 - 2n - 2n + 2 = 2n^2 - 4n + 3$

したがって、第$n$区画の最初の数は$2n^2 - 4n + 3$

3. 最終的な答え

(1) 175

(2) 1, 3, 9, 19, 33

(3) $2n^2 - 4n + 3$