$\sum_{k=1}^{n} (4k+3)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (4k+3)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} (4k+3)$ を計算します。

まず、シグマの性質を使って、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k+3) = \sum_{k=1}^{n} 4k + \sum_{k=1}^{n} 3$

次に、定数倍の性質を使って、$\sum_{k=1}^{n} 4k$ から4を括り出します。

$\sum_{k=1}^{n} 4k = 4 \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k$ は1からnまでの自然数の和なので、$\frac{n(n+1)}{2}$ となります。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 3$ は3をn回足し合わせるので、$3n$となります。

$\sum_{k=1}^{n} 3 = 3n$

以上の結果を元の式に代入します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k+3) = 4 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3 = 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 3n$

整理します。

$4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 3n = 2n(n+1) + 3n = 2n^2 + 2n + 3n = 2n^2 + 5n$

3. 最終的な答え

$2n^2+5n$