与えられた数列の和を求める問題です。数列は、$1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \dots + (2n - 1)(2n + 1)$ で与えられています。総和記号 $\Sigma$ を用いて表し、因数分解して最終的な答えを求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は、$1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \dots + (2n - 1)(2n + 1)$ で与えられています。総和記号 $\Sigma$ を用いて表し、因数分解して最終的な答えを求めます。

2. 解き方の手順

数列の一般項は $a_k = (2k-1)(2k+1)$ と表されます。したがって、求める和は以下のようになります。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2k+1)$

展開して整理します。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 1)$

$\Sigma$ の性質を利用して、以下のように分割します。

$S_n = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ および $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を用いると、

$S_n = 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n$

$S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - n$

共通因数 $n$ でくくります。

$S_n = n\left(\frac{2(n+1)(2n+1)}{3} - 1\right)$

括弧の中を整理します。

$S_n = n\left(\frac{2(2n^2 + 3n + 1)}{3} - 1\right)$

$S_n = n\left(\frac{4n^2 + 6n + 2}{3} - \frac{3}{3}\right)$

$S_n = n\left(\frac{4n^2 + 6n - 1}{3}\right)$

したがって、

$S_n = \frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$