複素数 $z$ が $|z| = 2$ を満たすとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $z$ を極形式で表す。 (2) $|z^2 + iz - 1|^2$ を $sin \theta$ の式で表す。 (3) $|z^2 + iz - 1|$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が $|z| = 2$ を満たすとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $z$ を極形式で表す。

(2) $|z^2 + iz - 1|^2$ を $sin \theta$ の式で表す。

(3) $|z^2 + iz - 1|$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $|z| = 2$ より、$z = 2(\cos \theta + i \sin \theta)$ と表せる。

(2) $z = 2(\cos \theta + i \sin \theta)$ を $|z^2 + iz - 1|^2$ に代入する。

$z^2 = 4(\cos 2\theta + i \sin 2\theta)$

$iz = 2i(\cos \theta + i \sin \theta) = -2 \sin \theta + 2i \cos \theta$

$z^2 + iz - 1 = 4(\cos 2\theta + i \sin 2\theta) - 2 \sin \theta + 2i \cos \theta - 1 = (4 \cos 2\theta - 2 \sin \theta - 1) + i(4 \sin 2\theta + 2 \cos \theta)$

$|z^2 + iz - 1|^2 = (4 \cos 2\theta - 2 \sin \theta - 1)^2 + (4 \sin 2\theta + 2 \cos \theta)^2$

$= 16 \cos^2 2\theta - 16 \cos 2\theta \sin \theta - 8 \cos 2\theta + 4 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta + 1 + 16 \sin^2 2\theta + 16 \sin 2\theta \cos \theta + 4 \cos^2 \theta$

$= 16(\cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta) + 4(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) - 16 \cos 2\theta \sin \theta + 16 \sin 2\theta \cos \theta + 4 \sin \theta + 1 - 8 \cos 2\theta$

$= 16 + 4 + 16(2\sin\theta\cos\theta)\cos\theta - 16(1-2\sin^2\theta)\sin\theta + 4 \sin \theta + 1 - 8(1-2\sin^2\theta)$

$= 21 - 8(1-2\sin^2\theta)+32\sin\theta\cos^2\theta-16\sin\theta+32\sin^3\theta+4\sin\theta$

$= 21 -8+16\sin^2\theta+32\sin\theta(1-\sin^2\theta)-12\sin\theta+32\sin^3\theta$

$= 13+16\sin^2\theta+32\sin\theta-32\sin^3\theta-12\sin\theta+32\sin^3\theta$

$= 16 \sin^2 \theta + 20 \sin \theta + 13$

(3) $t = \sin \theta$ とおくと、$|z^2 + iz - 1|^2 = 16t^2 + 20t + 13 = 16(t^2 + \frac{5}{4}t) + 13 = 16(t + \frac{5}{8})^2 - 16(\frac{25}{64}) + 13 = 16(t + \frac{5}{8})^2 - \frac{25}{4} + 13 = 16(t + \frac{5}{8})^2 + \frac{27}{4}$

$-1 \le t \le 1$ であるから、$t = -\frac{5}{8}$ のとき最小値 $\frac{27}{4}$、$t = 1$ のとき最大値 $16 + 20 + 13 = 49$ をとる。

したがって、$\frac{27}{4} \le |z^2 + iz - 1|^2 \le 49$ であるから、$\frac{\sqrt{27}}{2} \le |z^2 + iz - 1| \le 7$

$\frac{\sqrt{27}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.598$

3. 最終的な答え

(1) ア: 2

(2) イ: 16, ウ: 20, エ: 13

(3) オ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, カ: 7