与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。4つの小問があり、それぞれ頂点と通る点、または軸と通る点が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。4つの小問があり、それぞれ頂点と通る点、または軸と通る点が与えられています。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が $(1, -2)$ で、点 $(2, -3)$ を通る。

頂点が与えられているので、2次関数を $y = a(x-1)^2 - 2$ とおくことができます。

点 $(2, -3)$ を通るので、これを代入すると

$-3 = a(2-1)^2 - 2$

$-3 = a - 2$

$a = -1$

よって、2次関数は $y = -(x-1)^2 - 2 = -(x^2 - 2x + 1) - 2 = -x^2 + 2x - 1 - 2 = -x^2 + 2x - 3$

(2) 頂点が $(-4, -1)$ で、点 $(-6, 7)$ を通る。

頂点が与えられているので、2次関数を $y = a(x+4)^2 - 1$ とおくことができます。

点 $(-6, 7)$ を通るので、これを代入すると

$7 = a(-6+4)^2 - 1$

$7 = a(-2)^2 - 1$

$7 = 4a - 1$

$8 = 4a$

$a = 2$

よって、2次関数は $y = 2(x+4)^2 - 1 = 2(x^2 + 8x + 16) - 1 = 2x^2 + 16x + 32 - 1 = 2x^2 + 16x + 31$

(3) 軸が直線 $x = 2$ で、2点 $(4, 1)$, $(6, -5)$ を通る。

軸が $x=2$ なので、$y = a(x-2)^2 + q$ とおく。

点 $(4, 1)$ を通るので $1 = a(4-2)^2 + q = 4a + q$

点 $(6, -5)$ を通るので $-5 = a(6-2)^2 + q = 16a + q$

この2式から $a$ と $q$ を求めます。

$1 = 4a + q$ より $q = 1 - 4a$

$-5 = 16a + q = 16a + 1 - 4a = 12a + 1$

$-6 = 12a$

$a = -\frac{1}{2}$

$q = 1 - 4(-\frac{1}{2}) = 1 + 2 = 3$

よって、2次関数は $y = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 3 = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) + 3 = -\frac{1}{2}x^2 + 2x - 2 + 3 = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$

(4) 軸が直線 $x = -3$ で、2点 $(0, 9)$, $(-2, -7)$ を通る。

軸が $x = -3$ なので、$y = a(x+3)^2 + q$ とおく。

点 $(0, 9)$ を通るので $9 = a(0+3)^2 + q = 9a + q$

点 $(-2, -7)$ を通るので $-7 = a(-2+3)^2 + q = a + q$

この2式から $a$ と $q$ を求めます。

$-7 = a + q$ より $q = -7 - a$

$9 = 9a + q = 9a - 7 - a = 8a - 7$

$16 = 8a$

$a = 2$

$q = -7 - 2 = -9$

よって、2次関数は $y = 2(x+3)^2 - 9 = 2(x^2 + 6x + 9) - 9 = 2x^2 + 12x + 18 - 9 = 2x^2 + 12x + 9$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 2x - 3$

(2) $y = 2x^2 + 16x + 31$

(3) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$

(4) $y = 2x^2 + 12x + 9$