3次正方行列 $A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}$ に対して、ある数を対応させる関数 $D(A)$ について、以下の問いに答える。 (1) $D$ が列に関する多重線形性を持つことを定式化する。 (2) 多重線形性を持つと仮定したとき、$D(A)$ を展開式で書き表す。ここで、$a = a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3$ などと表せることを利用する。 (3) 列に関する退化性と交代性を定式化する。 (4) 退化性を仮定すると、(2)で求めた展開式はどのようになるか。 (5) さらに交代性を仮定すると、(4)で求めた展開式はどのようになるか。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

3次正方行列 $A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}$ に対して、ある数を対応させる関数 $D(A)$ について、以下の問いに答える。

(1) $D$ が列に関する多重線形性を持つことを定式化する。

(2) 多重線形性を持つと仮定したとき、$D(A)$ を展開式で書き表す。ここで、$a = a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3$ などと表せることを利用する。

(3) 列に関する退化性と交代性を定式化する。

(4) 退化性を仮定すると、(2)で求めた展開式はどのようになるか。

(5) さらに交代性を仮定すると、(4)で求めた展開式はどのようになるか。

2. 解き方の手順

(1) 多重線形性の定式化

$D$ が列に関して多重線形性を持つとは、任意の列ベクトルについて、線形性を持つことを意味します。すなわち、以下の式が成立します。

$D(\alpha a + \beta a', b, c) = \alpha D(a, b, c) + \beta D(a', b, c)$

$D(a, \alpha b + \beta b', c) = \alpha D(a, b, c) + \beta D(a, b', c)$

$D(a, b, \alpha c + \beta c') = \alpha D(a, b, c) + \beta D(a, b, c')$

これらの式は、$a, b, c$ がそれぞれ列ベクトルであることを意味しています。

(2) 多重線形性を持つ場合の展開式

$a = a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3$, $b = b_1 e_1 + b_2 e_2 + b_3 e_3$, $c = c_1 e_1 + c_2 e_2 + c_3 e_3$ とすると、

$D(A) = D(a, b, c) = D(\sum_{i=1}^3 a_i e_i, \sum_{j=1}^3 b_j e_j, \sum_{k=1}^3 c_k e_k)$

多重線形性より、

$D(A) = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 a_i b_j c_k D(e_i, e_j, e_k)$

(3) 退化性と交代性の定式化

退化性：ある2つの列ベクトルが等しいとき、$D(A) = 0$ となる。例えば、$D(a, a, c) = 0$。

交代性：2つの列を交換すると、$D(A)$ の符号が変わる。例えば、$D(b, a, c) = -D(a, b, c)$。

(4) 退化性を仮定した場合の展開式

退化性を仮定すると、$D(e_i, e_j, e_k)$ において、$i = j$ または $j = k$ または $k = i$ ならば、$D(e_i, e_j, e_k) = 0$。

したがって、(2)の展開式は、

$D(A) = a_1 b_2 c_3 D(e_1, e_2, e_3) + a_1 b_3 c_2 D(e_1, e_3, e_2) + a_2 b_1 c_3 D(e_2, e_1, e_3) + a_2 b_3 c_1 D(e_2, e_3, e_1) + a_3 b_1 c_2 D(e_3, e_1, e_2) + a_3 b_2 c_1 D(e_3, e_2, e_1)$

(5) 交代性を仮定した場合の展開式

交代性を仮定すると、$D(e_1, e_2, e_3) = -D(e_2, e_1, e_3) = D(e_2, e_3, e_1) = -D(e_3, e_2, e_1) = D(e_3, e_1, e_2) = -D(e_1, e_3, e_2)$ が成り立つ。

ここで、$D(e_1, e_2, e_3) = 1$ と規格化すると、

$D(A) = (a_1 b_2 c_3 - a_1 b_3 c_2 - a_2 b_1 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_3 b_2 c_1)$

$D(A) = a_1(b_2 c_3 - b_3 c_2) - a_2(b_1 c_3 - b_3 c_1) + a_3(b_1 c_2 - b_2 c_1)$

$D(A) = a_1(b_2 c_3 - b_3 c_2) + a_2(b_3 c_1 - b_1 c_3) + a_3(b_1 c_2 - b_2 c_1)$

3. 最終的な答え

(1) $D(\alpha a + \beta a', b, c) = \alpha D(a, b, c) + \beta D(a', b, c)$、$D(a, \alpha b + \beta b', c) = \alpha D(a, b, c) + \beta D(a, b', c)$、$D(a, b, \alpha c + \beta c') = \alpha D(a, b, c) + \beta D(a, b, c')$

(2) $D(A) = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 a_i b_j c_k D(e_i, e_j, e_k)$

(3) $D(a, a, c) = 0$ (退化性)、$D(b, a, c) = -D(a, b, c)$ (交代性)

(4) $D(A) = a_1 b_2 c_3 D(e_1, e_2, e_3) + a_1 b_3 c_2 D(e_1, e_3, e_2) + a_2 b_1 c_3 D(e_2, e_1, e_3) + a_2 b_3 c_1 D(e_2, e_3, e_1) + a_3 b_1 c_2 D(e_3, e_1, e_2) + a_3 b_2 c_1 D(e_3, e_2, e_1)$

(5) $D(A) = a_1(b_2 c_3 - b_3 c_2) + a_2(b_3 c_1 - b_1 c_3) + a_3(b_1 c_2 - b_2 c_1)$