与えられた数列 $\{a_n\}$: 2, 3, 7, 14, 24, 37, 53, ... の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$: 2, 3, 7, 14, 24, 37, 53, ... の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、階差数列 $\{b_n\}$ を求める。

$b_n = a_{n+1} - a_n$

$b_1 = 3-2 = 1$

$b_2 = 7-3 = 4$

$b_3 = 14-7 = 7$

$b_4 = 24-14 = 10$

$b_5 = 37-24 = 13$

$b_6 = 53-37 = 16$

よって、階差数列 $\{b_n\}$ は 1, 4, 7, 10, 13, 16, ... である。

さらに、階差数列 $\{b_n\}$ の階差数列 $\{c_n\}$ を求める。

$c_n = b_{n+1} - b_n$

$c_1 = 4-1 = 3$

$c_2 = 7-4 = 3$

$c_3 = 10-7 = 3$

$c_4 = 13-10 = 3$

$c_5 = 16-13 = 3$

よって、数列 $\{c_n\}$ は 3, 3, 3, 3, 3, ... であり、これは定数数列である。

したがって、数列 $\{b_n\}$ は等差数列であり、初項は 1、公差は 3 である。

数列 $\{b_n\}$ の一般項は、

$b_n = 1 + (n-1) \cdot 3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2$

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k-2)$

$a_1 = 2$ より

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k-2) = 2 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k - 2 \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 2 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - 2(n-1)$

$a_n = 2 + \frac{3n^2 - 3n}{2} - 2n + 2$

$a_n = 4 + \frac{3n^2 - 3n - 4n}{2} = 4 + \frac{3n^2 - 7n}{2}$

$a_n = \frac{8 + 3n^2 - 7n}{2} = \frac{3n^2 - 7n + 8}{2}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{3 - 7 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = \frac{3n^2 - 7n + 8}{2}$ である。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3n^2 - 7n + 8}{2}$