(1) 複素数 $z + \frac{16}{z}$ が実数となるような、0でない複素数 $z$ が複素数平面上に描く図形を求め、図示する。 (2) (1)の条件に加えて、$2 \le z + \frac{16}{z} \le 10$ を満たす、0でない複素数 $z$ が複素数平面上に描く図形を求め、図示する。

1. 問題の内容

(1) 複素数 $z + \frac{16}{z}$ が実数となるような、0でない複素数 $z$ が複素数平面上に描く図形を求め、図示する。

(2) (1)の条件に加えて、$2 \le z + \frac{16}{z} \le 10$ を満たす、0でない複素数 $z$ が複素数平面上に描く図形を求め、図示する。

2. 解き方の手順

(1) $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ (ただし、$r>0$, $0 \le \theta < 2\pi$, $\theta \neq 0, \pi$) とおく。すると、

$\frac{1}{z} = \frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)) = \frac{1}{r}(\cos\theta - i\sin\theta)$.

したがって、

$$z + \frac{16}{z} = r(\cos\theta + i\sin\theta) + \frac{16}{r}(\cos\theta - i\sin\theta) = \left(r + \frac{16}{r}\right)\cos\theta + i\left(r - \frac{16}{r}\right)\sin\theta$$

$z + \frac{16}{z}$ が実数であるためには、$z + \frac{16}{z}$ の虚部が0でなければならない。よって、

$\left(r - \frac{16}{r}\right)\sin\theta = 0$.

$r > 0$ であるから、$r - \frac{16}{r} = 0$ または $\sin\theta = 0$.

(i) $r - \frac{16}{r} = 0$ のとき、$r^2 = 16$ より $r = 4$. このとき、$z = 4(\cos\theta + i\sin\theta)$ であり、$|z| = 4$ となる。これは原点中心、半径4の円を表す。ただし、$z \ne 0$ より原点は除く。

(ii) $\sin\theta = 0$ のとき、$\theta = 0$ または $\theta = \pi$.

しかし、問題文より、$z$ は0でない複素数なので、この場合は除かれる。

したがって、$|z| = 4$ (ただし、原点を除く) が求める図形となる。

(2) (1)の結果より、$z+\frac{16}{z}$は実数であるから、$2 \le z+\frac{16}{z} \le 10$ は実数における範囲を意味する。

$z+\frac{16}{z} = \left(r + \frac{16}{r}\right)\cos\theta$ であったから、$2 \le \left(r + \frac{16}{r}\right)\cos\theta \le 10$となる。

$|z|=4$のとき、$r=4$より$z+\frac{16}{z} = (4+\frac{16}{4})\cos\theta = 8\cos\theta$となる。

$2 \le 8\cos\theta \le 10$ より、$\frac{1}{4} \le \cos\theta \le \frac{5}{4}$となる。

ただし、$-1 \le \cos\theta \le 1$ より、$\frac{1}{4} \le \cos\theta \le 1$ である。

$\cos\theta = \frac{1}{4}$を満たす$\theta$を$\alpha$とおくと、$|z|=4$かつ$\alpha \le \theta \le 2\pi - \alpha$となる。

3. 最終的な答え

(1) $|z|=4$の円（原点を除く）

(2) $|z|=4$の円のうち、$\frac{1}{4} \le \cos\theta \le 1$を満たす部分。これは、$|z|=4$上で、$\cos\theta = \frac{1}{4}$となる角$\theta$を$\alpha$と置くと、$\alpha \le \theta \le 2\pi-\alpha$となる部分。

この図形は、$|z|=4$の円から、$\cos\theta < \frac{1}{4}$となる部分を除いたもの。