(1) 複素数 $z$ が $z + \frac{16}{z}$ が実数となるような $0$ でない $z$ の軌跡を複素数平面上に図示せよ。 (2) (1)の条件に加えて、$2 \le z + \frac{16}{z} \le 10$ となるような $0$ でない $z$ の軌跡を複素数平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

(1) 複素数 $z$ が $z + \frac{16}{z}$ が実数となるような $0$ でない $z$ の軌跡を複素数平面上に図示せよ。

(2) (1)の条件に加えて、$2 \le z + \frac{16}{z} \le 10$ となるような $0$ でない $z$ の軌跡を複素数平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

(1) $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ (ただし、$r>0$, $0 \le \theta < 2\pi$) とおく。

すると、

$\frac{16}{z} = \frac{16}{r(\cos \theta + i \sin \theta)} = \frac{16(\cos \theta - i \sin \theta)}{r} = \frac{16}{r}(\cos(-\theta) + i \sin(-\theta))$

したがって、

$z + \frac{16}{z} = r(\cos \theta + i \sin \theta) + \frac{16}{r}(\cos \theta - i \sin \theta) = \left(r + \frac{16}{r}\right) \cos \theta + i \left(r - \frac{16}{r}\right) \sin \theta$

$z + \frac{16}{z}$ が実数であるためには、虚部が $0$ でなければならない。

つまり、

$\left(r - \frac{16}{r}\right) \sin \theta = 0$

$r - \frac{16}{r} = 0$ または $\sin \theta = 0$

$r^2 = 16$ または $\sin \theta = 0$

$r = 4$ (∵ $r>0$) または $\theta = 0, \pi$

$r=4$ のとき、$|z|=4$ であり、$z$ は原点中心、半径 $4$ の円を描く。ただし、$z=0$ は含まない。

$\theta=0$ のとき、$z=r$ であり、$z$ は実軸の正の部分を表す。

$\theta = \pi$ のとき、$z = -r$ であり、$z$ は実軸の負の部分を表す。

ただし、$z=0$ は含まない。

したがって、$z$ の軌跡は、原点中心、半径 $4$ の円周と、実軸全体から原点を除いたものである。

(2) (1)の条件より、$z + \frac{16}{z}$ は実数であるから、$2 \le z + \frac{16}{z} \le 10$ は $z + \frac{16}{z}$ が $2$ 以上 $10$ 以下の実数であることを意味する。

(1)より、$z = r$ または $z=-r$ または $|z|=4$

$z=r$ のとき、$r+\frac{16}{r}$ は $2 \le r + \frac{16}{r} \le 10$ を満たす。

$r^2 - 10r + 16 \le 0$ かつ $r^2 - 2r + 16 \ge 0$

$(r-2)(r-8) \le 0$ かつ $(r-1)^2+15 \ge 0$

$2 \le r \le 8$

$z=-r$ のとき、$z + \frac{16}{z} = -r - \frac{16}{r}$

$-10 \le -r-\frac{16}{r} \le -2$

$2 \le r+\frac{16}{r} \le 10$

$2 \le r \le 8$

$|z|=4$ のとき、$z + \frac{16}{z} = 8\cos \theta$

$2 \le 8 \cos \theta \le 10$

$\frac{1}{4} \le \cos \theta \le \frac{5}{4}$

$\frac{1}{4} \le \cos \theta \le 1$

$\cos \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\theta = \pm \arccos \frac{1}{4}$

したがって、軌跡は $|z|=4$ の円周のうち、偏角が $-\arccos \frac{1}{4} \le \theta \le \arccos \frac{1}{4}$ の範囲である。

$z = r$ のとき、$2 \le r \le 8$

$z = -r$ のとき、$-8 \le z \le -2$

3. 最終的な答え

(1) 原点中心、半径 $4$ の円周（原点を含まない）と、実軸全体から原点を除いたもの。

(2) 実軸上の $2 \le z \le 8$ と $-8 \le z \le -2$ の範囲と、円 $|z|=4$ 上の偏角の範囲 $-\arccos \frac{1}{4} \le \theta \le \arccos \frac{1}{4}$ を満たす点。