(1) 複素数 $z + \frac{16}{z}$ が実数となるような、0でない複素数 $z$ が描く図形を複素数平面上に図示する。 (2) (1)の条件に加えて、$2 \leq z + \frac{16}{z} \leq 10$ を満たすような0でない複素数 $z$ が描く図形を複素数平面上に図示する。

1. 問題の内容

(1) 複素数 $z + \frac{16}{z}$ が実数となるような、0でない複素数 $z$ が描く図形を複素数平面上に図示する。

(2) (1)の条件に加えて、$2 \leq z + \frac{16}{z} \leq 10$ を満たすような0でない複素数 $z$ が描く図形を複素数平面上に図示する。

2. 解き方の手順

(1) $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ ($r>0$, $0 \leq \theta < 2\pi$)と表す。

このとき、

$\frac{16}{z} = \frac{16}{r(\cos\theta + i\sin\theta)} = \frac{16}{r}(\cos\theta - i\sin\theta)$

したがって、

$z + \frac{16}{z} = r(\cos\theta + i\sin\theta) + \frac{16}{r}(\cos\theta - i\sin\theta) = (r + \frac{16}{r})\cos\theta + i(r - \frac{16}{r})\sin\theta$

$z + \frac{16}{z}$ が実数となるためには、虚部が0である必要がある。

したがって、$(r - \frac{16}{r})\sin\theta = 0$ を満たす必要がある。

この式は、$r - \frac{16}{r} = 0$ または $\sin\theta = 0$ を意味する。

* $r - \frac{16}{r} = 0$ のとき、$r^2 = 16$ より、$r = 4$ (∵$r>0$)

このとき、$z$ は原点中心、半径4の円となる。ただし、原点は含まない。

* $\sin\theta = 0$ のとき、$\theta = 0$ または $\theta = \pi$

このとき、$z$ は実軸上の点となる。

$\theta = 0$ のとき、$z = r$

$\theta = \pi$ のとき、$z = -r$

ただし、$z \neq 0$ より、$r > 0$ である。

$z + \frac{16}{z} = r + \frac{16}{r}$ ($z = r$)または $z + \frac{16}{z} = -r - \frac{16}{r}$ ($z = -r$)

したがって、$z$ が描く図形は、半径4の円(原点を除く)と実軸である。

(2)

(1)より、$z + \frac{16}{z}$ が実数であるとき、

$2 \leq z + \frac{16}{z} \leq 10$ を満たす $z$ を考える。

* $z$ が半径4の円上にあるとき、$z = 4(\cos\theta + i\sin\theta)$

$z + \frac{16}{z} = (4 + \frac{16}{4})\cos\theta + i(4 - \frac{16}{4})\sin\theta = 8\cos\theta$

$2 \leq 8\cos\theta \leq 10$

$\frac{1}{4} \leq \cos\theta \leq \frac{5}{4}$

$\cos\theta \leq 1$より、$\frac{1}{4} \leq \cos\theta \leq 1$ を満たす。

$\arccos(1/4) \approx 1.318$ なので、$-\arccos(1/4) \leq \theta \leq \arccos(1/4)$ すなわち $-1.318 \leq \theta \leq 1.318$

したがって、円弧となる。

* $z$ が実軸上にあるとき、

$z = r$ のとき、$2 \leq r + \frac{16}{r} \leq 10$

$r>0$より、$2r \leq r^2 + 16 \leq 10r$

$r^2 - 2r + 16 \geq 0$ は常に成り立つ

$r^2 - 10r + 16 \leq 0$ より $(r-2)(r-8) \leq 0$

$2 \leq r \leq 8$

$z = -r$ のとき、$2 \leq -r - \frac{16}{r} \leq 10$

$-10 \leq r + \frac{16}{r} \leq -2$

$r > 0$ より $r + \frac{16}{r} > 0$ なので、これは成り立たない。

したがって、実軸上では $2 \leq z \leq 8$ である。

3. 最終的な答え

(1) 原点を除く半径4の円と実軸全体

(2)

半径4の円 $|z| = 4$ において、$-\arccos(1/4) \leq \arg(z) \leq \arccos(1/4)$ の範囲の円弧と、実軸上の $2 \leq z \leq 8$ の範囲。