与えられた画像には2つの問題が含まれています。 * **問題2:** 3次行列式の展開式が与えられています。この式を観察し、式の形、多重線形性、交代性、転置との関係、各成分の多項式としての性質などを考察する問題です。 * **問題3:** $n \ge 4$ の場合の $n$次正方行列の行列式について、項数がどうなるかを考察し、$n=4$ の場合に展開式を書く問題です。 ここでは、特に問題3について解答します。

1. 問題の内容

与えられた画像には2つの問題が含まれています。

* **問題2:** 3次行列式の展開式が与えられています。この式を観察し、式の形、多重線形性、交代性、転置との関係、各成分の多項式としての性質などを考察する問題です。

* **問題3:** $n \ge 4$ の場合の $n$次正方行列の行列式について、項数がどうなるかを考察し、$n=4$ の場合に展開式を書く問題です。

ここでは、特に問題3について解答します。

2. 解き方の手順

$n$次正方行列の行列式は、$n!$個の項を持ちます。これは、$n$次の置換の総数が$n!$であることから導かれます。各項は、行列の異なる行と列から一つずつ要素を取り出し、それらを掛け合わせたものに、置換の符号を掛けたものです。

$n=4$の場合、4次正方行列の行列式は$4! = 24$個の項を持ちます。各項は、4つの要素の積であり、各行と各列からちょうど1つの要素を取ります。以下に、4次正方行列の行列式の展開式の一部を示します。

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix}$

$\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33}a_{44} - a_{11}a_{22}a_{34}a_{43} + a_{11}a_{23}a_{34}a_{42} - a_{11}a_{23}a_{32}a_{44} + a_{11}a_{24}a_{32}a_{43} - a_{11}a_{24}a_{33}a_{42} - a_{12}a_{21}a_{33}a_{44} + a_{12}a_{21}a_{34}a_{43} - a_{12}a_{23}a_{34}a_{41} + a_{12}a_{23}a_{31}a_{44} - a_{12}a_{24}a_{31}a_{43} + a_{12}a_{24}a_{33}a_{41} + a_{13}a_{21}a_{32}a_{44} - a_{13}a_{21}a_{34}a_{42} + a_{13}a_{22}a_{34}a_{41} - a_{13}a_{22}a_{31}a_{44} + a_{13}a_{24}a_{31}a_{42} - a_{13}a_{24}a_{32}a_{41} - a_{14}a_{21}a_{32}a_{43} + a_{14}a_{21}a_{33}a_{42} - a_{14}a_{22}a_{33}a_{41} + a_{14}a_{22}a_{31}a_{43} - a_{14}a_{23}a_{31}a_{42} + a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}$

上記の式は、行列式を展開した最初の数項を表しています。完全に展開するには、24個のすべての項を記述する必要があります。

3. 最終的な答え

$n=4$の場合、4次正方行列の行列式の項数は24です。4次正方行列の行列式の展開式は上記の通りです（一部）。