与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 4k + 3)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 4k + 3)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 4k + 3) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{n} k + 3 \sum_{k=1}^{n} 1$

次に、それぞれの和の公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入すると、

$2 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{n} k + 3 \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 3n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + 3n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 9n}{3}$

$= \frac{n[(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 9]}{3}$

$= \frac{n[2n^2 + 3n + 1 - 6n - 6 + 9]}{3}$

$= \frac{n[2n^2 - 3n + 4]}{3}$

$= \frac{2n^3 - 3n^2 + 4n}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2n^3 - 3n^2 + 4n}{3}$