$f(x) = x^2 - 2(a+3)x + a + 13$ という2次関数について、以下の問いに答える問題です。 (1) グラフの頂点の座標を求める。 (2) グラフがx軸と接するときの $a$ の値を求める。 (3) グラフの頂点のx座標を $p$ とおき、 $-1 \le x \le 5$ における $f(x)$ の最小値が $f(-1)$ となるような $a$ の範囲、および最小値が $f(p)$ となるような $a$ の範囲を求める。 (4) $-1 \le x \le 5$ における $f(x)$ の最小値が4となるような定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 - 2(a+3)x + a + 13$ という2次関数について、以下の問いに答える問題です。

(1) グラフの頂点の座標を求める。

(2) グラフがx軸と接するときの $a$ の値を求める。

(3) グラフの頂点のx座標を $p$ とおき、 $-1 \le x \le 5$ における $f(x)$ の最小値が $f(-1)$ となるような $a$ の範囲、および最小値が $f(p)$ となるような $a$ の範囲を求める。

(4) $-1 \le x \le 5$ における $f(x)$ の最小値が4となるような定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 2(a+3)x + a + 13$

$f(x) = (x - (a+3))^2 - (a+3)^2 + a + 13$

$f(x) = (x - (a+3))^2 - (a^2 + 6a + 9) + a + 13$

$f(x) = (x - (a+3))^2 - a^2 - 5a + 4$

よって、頂点の座標は $(a+3, -a^2 - 5a + 4)$ です。

(2)

グラフがx軸と接するとき、$f(x)=0$ が重解を持つので、頂点のy座標が0になる必要があります。

$-a^2 - 5a + 4 = 0$

$a^2 + 5a - 4 = 0$

$a = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(-4)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$

(3)

頂点のx座標 $p = a+3$ とおきます。

[ア] $-1 \le x \le 5$ における $f(x)$ の最小値が $f(-1)$ となるのは、$p=a+3 \ge 3$ のときです。なぜなら、$a+3$が範囲よりも大きい場合、最小値は$f(-1)$になります。

$a+3 \ge 5$

$a \ge 2$

最小値が $f(-1)$ なので、$a+3 \ge 5$ より $a \ge 2$のとき、$f(x)$は区間内で増加関数なので、$f(-1)$が最小値です。

$a \le 1$. この不等式が成り立つ必要があります。

$f(x) = x^2 - 2(a+3)x + a+13$

$f(-1) = 1 + 2(a+3) + a+13 = 1 + 2a + 6 + a + 13 = 3a + 20$

$p \ge 5$, つまり $a+3 \ge 5$, ゆえに $a \ge 2$。

$p < -1$ となるのは、$a+3<-1$, つまり $a<-4$ のとき

最小値は$f(-1) = 3a+20$ です。

$p = a+3$

$-1 \le x \le 5$ において最小値が $f(-1)$ であるということは、軸 $x=p$ が $x=5$ よりも右にあるか、あるいは $x=-1$ よりも左にあるかのどちらかです。

$a+3 \ge 5$ すなわち $a \ge 2$

$a+3 \le -1$ すなわち $a \le -4$

$f(-1) = (-1)^2 -2(a+3)(-1) +a+13 = 1+2a+6+a+13 = 3a+20$

$a \le \boxed{1}$

[イ] $-1 \le x \le 5$ における $f(x)$ の最小値が $f(p)$ となるのは、 $-1 \le p \le 5$ のときです。

$-1 \le a+3 \le 5$

$-4 \le a \le 2$

② $\boxed{-4} \le a \le \boxed{2}$ ③

(4)

$-1 \le x \le 5$ における $f(x)$ の最小値が4となるような $a$ の値を求めます。

最小値が $f(p)$ の場合、すなわち $-4 \le a \le 2$ のとき、

$f(p) = -a^2 - 5a + 4 = 4$

$-a^2 - 5a = 0$

$a(a+5) = 0$

$a = 0, -5$

$-4 \le a \le 2$ より、$a=0$

最小値が $f(-1)$ の場合、すなわち $a \le -4$ または $a \ge 2$ のとき、

$f(-1) = 3a + 20 = 4$

$3a = -16$

$a = -\frac{16}{3} = -5.333...$

$a \le -4$ より、$a = -\frac{16}{3}$

したがって、$a = 0, -\frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(a+3, -a^2 - 5a + 4)$

(2) $a = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$

(3) [ア] $a \le 1$　　　　[イ] $-4 \le a \le 2$

(4) $a = 0, -\frac{16}{3}$