2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち小さい方を $a$、大きい方を $b$ とおく。$w = (a+bi)^2$ と定め、ここで $i$ は虚数単位である。$arg z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \le arg z < 2\pi$ とする。以下の空欄に当てはまる値を求めよ。 (1) $w = (ア) + (イ)i$ (2) $|w| = (ウ)$、$arg w = (エ)$ (3) $|a+bi| = (オ)$、$arg(a+bi) = (カ)$、$cos(カ) = (キ)$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち小さい方を $a$、大きい方を $b$ とおく。$w = (a+bi)^2$ と定め、ここで $i$ は虚数単位である。$arg z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \le arg z < 2\pi$ とする。以下の空欄に当てはまる値を求めよ。

(1) $w = (ア) + (イ)i$

(2) $|w| = (ウ)$、$arg w = (エ)$

(3) $|a+bi| = (オ)$、$arg(a+bi) = (カ)$、$cos(カ) = (キ)$

2. 解き方の手順

(1) まず、2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ を解く。

解の公式より、

$x = \frac{-(-2\sqrt{3}) \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 8}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 2}{2} = \sqrt{3} \pm 1$

したがって、$a = \sqrt{3} - 1$、$b = \sqrt{3} + 1$ である。

$w = (a + bi)^2 = (\sqrt{3}-1 + (\sqrt{3}+1)i)^2$

$w = (\sqrt{3}-1)^2 + 2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)i + (\sqrt{3}+1)^2i^2$

$w = (\sqrt{3}-1)^2 - (\sqrt{3}+1)^2 + 2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)i$

$w = (3 - 2\sqrt{3} + 1) - (3 + 2\sqrt{3} + 1) + 2(3 - 1)i$

$w = 4 - 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} + 4i$

$w = -4\sqrt{3} + 4i$

よって、$(ア) = -4\sqrt{3}$、$(イ) = 4$

(2) $|w| = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{16(3) + 16} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8$

$arg w$ を求める。$w = -4\sqrt{3} + 4i = 8(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求める。

$\theta = \frac{5\pi}{6}$ である。

よって、$(ウ) = 8$、$(エ) = \frac{5\pi}{6}$

(3) $|a+bi| = |(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1)i| = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1 + 3 + 2\sqrt{3} + 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$arg(a+bi) = arg((\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1)i)$

$\cos \phi = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$、$\sin \phi = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ となる $\phi$ を求める。

$\phi = \frac{5\pi}{12}$ である。

$\cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

よって、$(オ) = 2\sqrt{2}$、$(カ) = \frac{5\pi}{12}$、$(キ) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $w = -4\sqrt{3} + 4i$

(2) $|w| = 8$、$arg w = \frac{5\pi}{6}$

(3) $|a+bi| = 2\sqrt{2}$、$arg(a+bi) = \frac{5\pi}{12}$、$cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$