2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち、小さい方を $a$、大きい方を $b$ とする。ただし、$i$ は虚数単位とする。 $w = (a + bi)^2$ と定める。 $arg z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \le arg z < 2\pi$ とする。 以下の空欄を埋める問題です。 (1) $w = (\text{ア}) + (\text{イ})i$ (2) $|w| = (\text{ウ})$、 $arg w = (\text{エ})$ (3) $|a+bi| = (\text{オ})$、 $arg(a+bi) = (\text{カ})$、 $cos(\text{カ}) = (\text{キ})$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ の2つの実数解のうち、小さい方を $a$、大きい方を $b$ とする。ただし、$i$ は虚数単位とする。

$w = (a + bi)^2$ と定める。

$arg z$ は複素数 $z$ の偏角を表し、その範囲は $0 \le arg z < 2\pi$ とする。

以下の空欄を埋める問題です。

(1) $w = (\text{ア}) + (\text{イ})i$

(2) $|w| = (\text{ウ})$、 $arg w = (\text{エ})$

(3) $|a+bi| = (\text{オ})$、 $arg(a+bi) = (\text{カ})$、 $cos(\text{カ}) = (\text{キ})$

2. 解き方の手順

(1) まず、2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$ を解きます。解の公式を用いると、

$$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 4(1)(2)}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 8}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 2}{2} = \sqrt{3} \pm 1$$

したがって、$a = \sqrt{3} - 1$、 $b = \sqrt{3} + 1$ である。

$w = (a + bi)^2 = (\sqrt{3} - 1 + (\sqrt{3} + 1)i)^2$

$(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$

$(\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$

$(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) = 3 - 1 = 2$

$w = (4 - 2\sqrt{3} - (4 + 2\sqrt{3})) + 2(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)i$

$w = -4\sqrt{3} + 4i$

よって、ア = $-4\sqrt{3}$、イ = $4$

(2) $|w| = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8$

$arg w$ を求める。$w = -4\sqrt{3} + 4i = r (\cos \theta + i \sin \theta)$

$cos \theta = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$sin \theta = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$\theta$ は第2象限の角で、$\theta = \frac{5\pi}{6}$

よって、ウ = $8$、エ = $\frac{5\pi}{6}$

(3) $|a+bi| = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{4-2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$arg(a+bi) = \phi$ とすると、

$\cos \phi = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$

$\sin \phi = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

$\tan \phi = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3} = \tan \frac{5\pi}{12}$

$\phi = \frac{5\pi}{12}$

$\cos \frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

よって、オ = $2\sqrt{2}$、カ = $\frac{5\pi}{12}$、キ = $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $w = -4\sqrt{3} + 4i$

(2) $|w| = 8$、 $arg w = \frac{5\pi}{6}$

(3) $|a+bi| = 2\sqrt{2}$、 $arg(a+bi) = \frac{5\pi}{12}$、 $cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$