次の方程式、不等式を解く問題です。 (1) $|x-3| = 2x$ (2) $|x+1| < 5x$ (3) $|2x-1| \geq x+4$

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の方程式、不等式を解く問題です。

(1) $|x-3| = 2x$

(2) $|x+1| < 5x$

(3) $|2x-1| \geq x+4$

2. 解き方の手順

(1) $|x-3| = 2x$ の場合

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x-3 \geq 0$、つまり $x \geq 3$ のとき

$x-3 = 2x$

$-3 = x$

これは $x \geq 3$ を満たさないので不適です。

(ii) $x-3 < 0$、つまり $x < 3$ のとき

$-(x-3) = 2x$

$-x+3 = 2x$

$3 = 3x$

$x = 1$

これは $x < 3$ を満たすので適します。

ただし、絶対値を含む方程式では、$2x \geq 0$ でなければならないので、$x \geq 0$ が必要です。$x = 1$ は $x \geq 0$ を満たします。

(2) $|x+1| < 5x$ の場合

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x+1 \geq 0$、つまり $x \geq -1$ のとき

$x+1 < 5x$

$1 < 4x$

$x > \frac{1}{4}$

$x \geq -1$ かつ $x > \frac{1}{4}$ より、$x > \frac{1}{4}$

(ii) $x+1 < 0$、つまり $x < -1$ のとき

$-(x+1) < 5x$

$-x-1 < 5x$

$-1 < 6x$

$x > -\frac{1}{6}$

$x < -1$ かつ $x > -\frac{1}{6}$ となる $x$ は存在しないので不適です。

ただし、絶対値を含む不等式では、$5x > 0$ でなければならないので、$x > 0$ が必要です。

したがって、(i)の場合の$x > \frac{1}{4}$かつ$x > 0$より、$x > \frac{1}{4}$

(3) $|2x-1| \geq x+4$ の場合

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $2x-1 \geq 0$、つまり $x \geq \frac{1}{2}$ のとき

$2x-1 \geq x+4$

$x \geq 5$

$x \geq \frac{1}{2}$ かつ $x \geq 5$ より、$x \geq 5$

(ii) $2x-1 < 0$、つまり $x < \frac{1}{2}$ のとき

$-(2x-1) \geq x+4$

$-2x+1 \geq x+4$

$-3 \geq 3x$

$x \leq -1$

$x < \frac{1}{2}$ かつ $x \leq -1$ より、$x \leq -1$

したがって、$x \geq 5$ または $x \leq -1$

3. 最終的な答え

(1) $x=1$

(2) $x > \frac{1}{4}$

(3) $x \leq -1$ または $x \geq 5$