一辺が20cmの正方形の紙から図1のように四隅を切り取って、図2のようなフタ付きの直方体の箱を作る。箱の底面積が72 cm²であるとき、箱の高さを求める。

1. 問題の内容

一辺が20cmの正方形の紙から図1のように四隅を切り取って、図2のようなフタ付きの直方体の箱を作る。箱の底面積が72 cm²であるとき、箱の高さを求める。

2. 解き方の手順

箱の高さを $x$ cmとする。

箱の底面の縦の長さは $20 - 2x$ cm、横の長さも $20 - 2x$ cmとなる。

箱の底面積は $72 cm^2$なので、

$(20 - 2x)(20-2x) = 72$

$(20 - 2x)^2 = 72$

$400 - 80x + 4x^2 = 72$

$4x^2 - 80x + 328 = 0$

$x^2 - 20x + 82 = 0$

二次方程式の解の公式を用いて、$x$を求める。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4(1)(82)}}{2(1)}$

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 328}}{2}$

$x = \frac{20 \pm \sqrt{72}}{2}$

$x = \frac{20 \pm 6\sqrt{2}}{2}$

$x = 10 \pm 3\sqrt{2}$

$x$ は正の値なので、$x = 10 - 3\sqrt{2}$ または $x = 10 + 3\sqrt{2}$ となる。

$3\sqrt{2} \approx 3 * 1.414 = 4.242$ であるので、$10 - 3\sqrt{2} \approx 5.758$ であり、$10 + 3\sqrt{2} \approx 14.242$である。

ここで、$20 - 2x > 0$ より、$x < 10$ である必要がある。したがって、$x = 10 - 3\sqrt{2}$が解となる。

3. 最終的な答え

$10 - 3\sqrt{2}$ cm