与えられた数列の和 $S$ を求めます。数列 $S$ は次のように定義されます。 $S = 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \dots + \frac{1}{1+2+3+\dots+n}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求めます。数列 $S$ は次のように定義されます。

$S = 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \dots + \frac{1}{1+2+3+\dots+n}$

2. 解き方の手順

まず、一般項を求めます。第 $k$ 項の分母は $1$ から $k+1$ までの和なので、$1+2+3+\dots+(k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$ となります。

したがって、第 $k$ 項は $\frac{1}{\frac{(k+1)(k+2)}{2}} = \frac{2}{(k+1)(k+2)}$ となります。

$S$ は $k=0$ から $k=n-1$ までの和なので、

$S = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{2}{(k+1)(k+2)} = 2 \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(k+1)(k+2)}$

ここで、部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}$

したがって、

$S = 2 \sum_{k=0}^{n-1} (\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2})$

$= 2 [ (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) ]$

これは望遠鏡和なので、

$S = 2(1 - \frac{1}{n+1})$

$S = 2(\frac{n+1-1}{n+1}) = 2(\frac{n}{n+1})$

$S = \frac{2n}{n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{2n}{n+1}$