与えられた不等式 $2\sqrt{\sqrt{16-x}-3} < x+2$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $2\sqrt{\sqrt{16-x}-3} < x+2$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が正である条件を求める。

$\sqrt{16-x} \ge 0$ より $16-x \ge 0$ なので $x \le 16$。

$\sqrt{16-x}-3 \ge 0$ より $\sqrt{16-x} \ge 3$。両辺を2乗して $16-x \ge 9$。よって $x \le 7$。

さらに、$x+2$ が正である必要がある（なぜなら、左辺は常に非負だから）。つまり $x+2 > 0$ なので $x > -2$。

したがって、$-2 < x \le 7$ が必要条件となる。

次に、不等式を解く。

$2\sqrt{\sqrt{16-x}-3} < x+2$ の両辺を2乗する。

$4(\sqrt{16-x}-3) < (x+2)^2$

$4\sqrt{16-x}-12 < x^2 + 4x + 4$

$4\sqrt{16-x} < x^2 + 4x + 16$

両辺を2乗しても良いが、一旦 $x$ の値を仮定して評価してみる。$x=0$のとき、左辺は$4\sqrt{16}=16$、右辺は$16$となり、等号が成立する。$x$を少し大きくすると、$16-x$のルートは小さくなる一方で、$x^2+4x+16$は大きくなるため、この不等式は成立しなくなる。

一方、$x$が負のとき、左辺は大きくなり、右辺は小さくなる可能性がある。

$4\sqrt{16-x} < x^2+4x+16$を解くため、再度両辺を2乗する。

$16(16-x) < (x^2+4x+16)^2$

$256 - 16x < x^4 + 8x^3 + 48x^2 + 128x + 256$

$0 < x^4 + 8x^3 + 48x^2 + 144x$

$0 < x(x^3 + 8x^2 + 48x + 144)$

$x=0$が1つの解であり、$-2<x\le 7$より、$x>0$となるため、$x^3 + 8x^2 + 48x + 144>0$となる必要がある。

ここで、$f(x) = x^3 + 8x^2 + 48x + 144$とする。

$f'(x) = 3x^2 + 16x + 48$

判別式 $D = 16^2 - 4(3)(48) = 256 - 576 = -320 < 0$であるから、$f'(x) > 0$であり、$f(x)$は単調増加である。

$f(-3) = -27 + 8(9) + 48(-3) + 144 = -27 + 72 - 144 + 144 = 45 > 0$

$f(-4) = -64 + 8(16) + 48(-4) + 144 = -64 + 128 - 192 + 144 = 16 > 0$

$f(-5) = -125 + 8(25) + 48(-5) + 144 = -125 + 200 - 240 + 144 = -21 < 0$

$f(-6) = -216 + 8(36) + 48(-6) + 144 = -216 + 288 - 288 + 144 = -72 < 0$

$-2<x \le 7$より、$x>0$となるため、$x(x^3 + 8x^2 + 48x + 144) > 0$となる。

つまり、$x \in (0, 7]$が解の候補となる。

$x=4$のとき、$2\sqrt{\sqrt{16-4}-3} = 2\sqrt{\sqrt{12}-3} \approx 2\sqrt{3.46 - 3} = 2\sqrt{0.46} \approx 2(0.68) \approx 1.36 < 4+2=6$となる。

$x=5$のとき、$2\sqrt{\sqrt{16-5}-3} = 2\sqrt{\sqrt{11}-3} \approx 2\sqrt{3.32 - 3} = 2\sqrt{0.32} \approx 2(0.56) \approx 1.12 < 5+2=7$となる。

$x=6$のとき、$2\sqrt{\sqrt{16-6}-3} = 2\sqrt{\sqrt{10}-3} \approx 2\sqrt{3.16 - 3} = 2\sqrt{0.16} = 2(0.4) = 0.8 < 6+2=8$となる。

$x=7$のとき、$2\sqrt{\sqrt{16-7}-3} = 2\sqrt{\sqrt{9}-3} = 2\sqrt{3-3} = 0 < 7+2=9$となる。

$x=0$のとき、$2\sqrt{\sqrt{16}-3} = 2\sqrt{4-3} = 2 < 0+2 = 2$となり、等号が成立する。$2 \sqrt{\sqrt{16 - x} - 3} < x + 2$なので、 $x$は$0$より大きくなる必要があり、$0 < x \le 7$

3. 最終的な答え

$0 < x \le 7$