与えられた12個の2次関数について、それぞれのグラフの頂点の座標と軸の方程式を求める。

1. 問題の内容

与えられた12個の2次関数について、それぞれのグラフの頂点の座標と軸の方程式を求める。

2. 解き方の手順

2次関数を平方完成の形に変形する。

一般に、2次関数が $y = a(x-p)^2 + q$ と表されるとき、頂点の座標は $(p, q)$ であり、軸の方程式は $x = p$ である。

各問題について、以下の手順で解く。

1. $x^2$ の係数で $x$ の項までをくくる。

2. 括弧の中を平方完成する。

3. 全体を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形する。

4. 頂点の座標 $(p, q)$ と軸の方程式 $x = p$ を求める。

(1) $y = x^2 + 2x - 2$

$y = (x^2 + 2x) - 2$

$y = (x^2 + 2x + 1 - 1) - 2$

$y = (x + 1)^2 - 1 - 2$

$y = (x + 1)^2 - 3$

頂点の座標: $(-1, -3)$

軸の方程式: $x = -1$

(2) $y = -x^2 + 2x + 4$

$y = -(x^2 - 2x) + 4$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 4$

$y = -(x - 1)^2 + 1 + 4$

$y = -(x - 1)^2 + 5$

頂点の座標: $(1, 5)$

軸の方程式: $x = 1$

(3) $y = -2x^2 - 8x - 5$

$y = -2(x^2 + 4x) - 5$

$y = -2(x^2 + 4x + 4 - 4) - 5$

$y = -2(x + 2)^2 + 8 - 5$

$y = -2(x + 2)^2 + 3$

頂点の座標: $(-2, 3)$

軸の方程式: $x = -2$

(4) $y = 2x^2 + 6x + 6$

$y = 2(x^2 + 3x) + 6$

$y = 2(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 6$

$y = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + 6$

$y = 2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2}$

頂点の座標: $(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$

軸の方程式: $x = -\frac{3}{2}$

(5) $y = 2x^2 - 3x + 1$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}) + 1$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 1$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}$

頂点の座標: $(\frac{3}{4}, -\frac{1}{8})$

軸の方程式: $x = \frac{3}{4}$

(6) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 4x)$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4 - 4)$

$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 2$

頂点の座標: $(2, -2)$

軸の方程式: $x = 2$

(7) $y = x^2 - 2x + 3$

$y = (x^2 - 2x) + 3$

$y = (x^2 - 2x + 1 - 1) + 3$

$y = (x - 1)^2 - 1 + 3$

$y = (x - 1)^2 + 2$

頂点の座標: $(1, 2)$

軸の方程式: $x = 1$

(8) $y = -x^2 + 8x - 15$

$y = -(x^2 - 8x) - 15$

$y = -(x^2 - 8x + 16 - 16) - 15$

$y = -(x - 4)^2 + 16 - 15$

$y = -(x - 4)^2 + 1$

頂点の座標: $(4, 1)$

軸の方程式: $x = 4$

(9) $y = 2x^2 - 8x + 3$

$y = 2(x^2 - 4x) + 3$

$y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3$

$y = 2(x - 2)^2 - 8 + 3$

$y = 2(x - 2)^2 - 5$

頂点の座標: $(2, -5)$

軸の方程式: $x = 2$

(10) $y = 2x^2 + 6x + 5$

$y = 2(x^2 + 3x) + 5$

$y = 2(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 5$

$y = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + 5$

$y = 2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2}$

頂点の座標: $(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$

軸の方程式: $x = -\frac{3}{2}$

(11) $y = -2x^2 - 12x - 10$

$y = -2(x^2 + 6x) - 10$

$y = -2(x^2 + 6x + 9 - 9) - 10$

$y = -2(x + 3)^2 + 18 - 10$

$y = -2(x + 3)^2 + 8$

頂点の座標: $(-3, 8)$

軸の方程式: $x = -3$

(12) $y = -x^2 + 5x - 4$

$y = -(x^2 - 5x) - 4$

$y = -(x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4}) - 4$

$y = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} - 4$

$y = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{9}{4}$

頂点の座標: $(\frac{5}{2}, \frac{9}{4})$

軸の方程式: $x = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(-1, -3)$, 軸の方程式: $x = -1$

(2) 頂点の座標: $(1, 5)$, 軸の方程式: $x = 1$

(3) 頂点の座標: $(-2, 3)$, 軸の方程式: $x = -2$

(4) 頂点の座標: $(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$, 軸の方程式: $x = -\frac{3}{2}$

(5) 頂点の座標: $(\frac{3}{4}, -\frac{1}{8})$, 軸の方程式: $x = \frac{3}{4}$

(6) 頂点の座標: $(2, -2)$, 軸の方程式: $x = 2$

(7) 頂点の座標: $(1, 2)$, 軸の方程式: $x = 1$

(8) 頂点の座標: $(4, 1)$, 軸の方程式: $x = 4$

(9) 頂点の座標: $(2, -5)$, 軸の方程式: $x = 2$

(10) 頂点の座標: $(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$, 軸の方程式: $x = -\frac{3}{2}$

(11) 頂点の座標: $(-3, 8)$, 軸の方程式: $x = -3$

(12) 頂点の座標: $(\frac{5}{2}, \frac{9}{4})$, 軸の方程式: $x = \frac{5}{2}$