与えられた問題は、次の和を求めることです。 $\sum_{k=0}^{n-1} \left(-\frac{1}{3}\right)^k$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の和を求めることです。

$\sum_{k=0}^{n-1} \left(-\frac{1}{3}\right)^k$

2. 解き方の手順

この和は、初項が$1$、公比が$-\frac{1}{3}$、項数が$n$の等比数列の和です。

等比数列の和の公式は次のようになります。

$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数です。

今回の問題では、$a=1$、$r=-\frac{1}{3}$なので、

$S_n = \frac{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)}$

$S_n = \frac{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n}{1 + \frac{1}{3}}$

$S_n = \frac{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n}{\frac{4}{3}}$

$S_n = \frac{3}{4} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)$