与えられた式 $x^2 - (a^2 - 2a - 1)x - 2a^3 + 2a$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - (a^2 - 2a - 1)x - 2a^3 + 2a$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、定数項 $-2a^3 + 2a$ を因数分解します。

$-2a^3 + 2a = -2a(a^2 - 1) = -2a(a - 1)(a + 1)$

次に、与えられた式を因数分解するために、以下の形を仮定します。

$(x + p)(x + q) = x^2 + (p + q)x + pq$

ここで、$p + q = -(a^2 - 2a - 1)$ かつ $pq = -2a(a - 1)(a + 1)$ を満たす $p$ と $q$ を探します。

$p = -2a$ と $q = a^2 - 1$ と仮定すると、

$p + q = -2a + a^2 - 1 = a^2 - 2a - 1$

$pq = -2a(a^2 - 1) = -2a(a-1)(a+1) = -2a^3 + 2a$

したがって、$p = -2a$ と $q = a^2 - 1$ は条件を満たします。

与えられた式は、以下の様に因数分解できます。

$x^2 - (a^2 - 2a - 1)x - 2a^3 + 2a = (x - 2a)(x - (a^2 - 1)) = (x - 2a)(x - a^2 + 1)$

3. 最終的な答え

$(x - 2a)(x - a^2 + 1)$