複素数 $\alpha = a + bi$ と $\beta = c + di$ (ただし、$a, b, c, d$ は実数、$i$ は虚数単位) が与えられたとき、$\lvert \alpha \beta \rvert = \lvert \alpha \rvert \lvert \beta \rvert$ を証明せよ。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = a + bi$ と $\beta = c + di$ (ただし、$a, b, c, d$ は実数、$i$ は虚数単位) が与えられたとき、$\lvert \alpha \beta \rvert = \lvert \alpha \rvert \lvert \beta \rvert$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha \beta$ を計算します。

$\alpha \beta = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$

次に、$\lvert \alpha \beta \rvert$ を計算します。

$\lvert \alpha \beta \rvert = \sqrt{(ac - bd)^2 + (ad + bc)^2} = \sqrt{a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2} = \sqrt{a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2} = \sqrt{a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2)} = \sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}$

$\lvert \alpha \rvert$ と $\lvert \beta \rvert$ をそれぞれ計算します。

$\lvert \alpha \rvert = \sqrt{a^2 + b^2}$

$\lvert \beta \rvert = \sqrt{c^2 + d^2}$

$\lvert \alpha \rvert \lvert \beta \rvert$ を計算します。

$\lvert \alpha \rvert \lvert \beta \rvert = \sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{c^2 + d^2} = \sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}$

$\lvert \alpha \beta \rvert$ と $\lvert \alpha \rvert \lvert \beta \rvert$ を比較します。

$\lvert \alpha \beta \rvert = \sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}$

$\lvert \alpha \rvert \lvert \beta \rvert = \sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}$

よって、$\lvert \alpha \beta \rvert = \lvert \alpha \rvert \lvert \beta \rvert$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\lvert \alpha \beta \rvert = \lvert \alpha \rvert \lvert \beta \rvert$