与えられた数式の総和を求める問題です。 $\sum_{k=1}^{n+1} (4k^3 - 1)$

1. 問題の内容

与えられた数式の総和を求める問題です。

$\sum_{k=1}^{n+1} (4k^3 - 1)$

2. 解き方の手順

まず、総和の性質を利用して、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n+1} (4k^3 - 1) = \sum_{k=1}^{n+1} 4k^3 - \sum_{k=1}^{n+1} 1$

次に、総和の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

上記の公式を利用すると、

$\sum_{k=1}^{n+1} 4k^3 = 4 \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = 4 \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} = (n+1)^2 (n+2)^2$

$\sum_{k=1}^{n+1} 1 = n+1$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n+1} (4k^3 - 1) = (n+1)^2 (n+2)^2 - (n+1) = (n+1) [(n+1)(n+2)^2 - 1] = (n+1)[(n+1)(n^2 + 4n + 4) - 1] = (n+1)[n^3 + 4n^2 + 4n + n^2 + 4n + 4 - 1] = (n+1)[n^3 + 5n^2 + 8n + 3]$

$= n^4 + 5n^3 + 8n^2 + 3n + n^3 + 5n^2 + 8n + 3 = n^4 + 6n^3 + 13n^2 + 11n + 3$

3. 最終的な答え

$n^4 + 6n^3 + 13n^2 + 11n + 3$