数列 $1 \cdot 4, 3 \cdot 7, 5 \cdot 10, 7 \cdot 13, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

1. 問題の内容

数列 $1 \cdot 4, 3 \cdot 7, 5 \cdot 10, 7 \cdot 13, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

2. 解き方の手順

与えられた数列の第 $k$ 項 $a_k$ は、2つの数列の積で表されている。

それぞれの数列を分析する。

一つ目の数列は $1, 3, 5, 7, \dots$ であり、これは初項1、公差2の等差数列である。したがって、一般項は $2k-1$ となる。

二つ目の数列は $4, 7, 10, 13, \dots$ であり、これは初項4、公差3の等差数列である。したがって、一般項は $3k+1$ となる。

したがって、与えられた数列の第 $k$ 項 $a_k$ は、

$a_k = (2k-1)(3k+1) = 6k^2 - k - 1$

となる。

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (6k^2 - k - 1) = 6 \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$

となる。

ここで、

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

であるから、

$S_n = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} - n$

$= n(n+1)(2n+1) - \frac{n(n+1)}{2} - n$

$= n \left[ (n+1)(2n+1) - \frac{n+1}{2} - 1 \right]$

$= n \left[ 2n^2 + 3n + 1 - \frac{n}{2} - \frac{1}{2} - 1 \right]$

$= n \left[ 2n^2 + \frac{5}{2}n - \frac{1}{2} \right]$

$= \frac{n}{2} (4n^2 + 5n - 1)$

$= \frac{4n^3 + 5n^2 - n}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{4n^3 + 5n^2 - n}{2}$